Invers matriks

Invers matriks didefinisikan untuk matriks persegi yang nonsingular. Hasil kali matriks dengan inversnya adalah matriks identitas.

Definisi

Invers matriks hanya dapat dihitung untuk matriks persegi; untuk matriks persegi panjang, invers matriks tidak didefinisikan. Selain itu, invers matriks A (dilambangkan A⁻¹) hanya ada jika matriksnya nonsingular (tidak memiliki baris yang bergantung linear). Invers ini ditentukan secara tunggal. Dua sifat utama invers matriks adalah:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

Dan yang terpenting, sifat utama invers matriks (yang sekaligus menjadi definisinya):

$$A\cdot A^{-1}=E$$

E adalah matriks identitas.

Cara menghitung invers matriks

Sekarang tentang cara menghitung invers matriks. Algoritma yang paling sederhana adalah metode eliminasi Gauss(–Jordan): matriks A diubah menjadi matriks identitas, di sebelahnya ditulis matriks identitas, dan pada matriks identitas ini dilakukan operasi yang sama seperti pada matriks A. Di akhir perhitungan, di sebelah kiri ada matriks A yang sudah diubah menjadi matriks identitas, dan di sebelah kanan ada inversnya. Mari kita coba pada contoh sederhana:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Sekilas terlihat bahwa matriks ini nonsingular, sehingga invers matriksnya layak dihitung. Saat menghitung invers matriks, biasanya kita menuliskannya dalam bentuk:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Sekarang matriks kiri kita ubah menjadi matriks identitas, dan operasi yang sama kita lakukan pada matriks kanan. Kita tambahkan −3 kali baris pertama pada baris kedua. Pertama pada matriks kiri:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Sekarang kita tambahkan −3 kali baris pertama matriks kanan pada baris kedua matriks kanan:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Sekarang kita harus membuat nol di posisi a₁₂. Cukup tambahkan baris kedua pada baris pertama. Kali ini kedua operasi saya lakukan dalam satu langkah:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Sekarang kita hilangkan minus dua tersebut dengan membagi seluruh baris dengan minus dua:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Invers matriks yang diperoleh adalah:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Jika kamu ingin memeriksa apakah invers matriks yang dihitung sudah benar, kalikan dengan matriks semula:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Untuk memeriksanya, kamu juga bisa melihat WolframAlpha.

Perhitungan dengan determinan

Invers matriks juga dapat dihitung dengan determinan. Jika A matriks nonsingular, invers matriks A⁻¹ memiliki elemen $a_{ij}^{-1}$ yang sama dengan:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

Di ruas kiri ada i,j, tetapi di pembilang ada j,i; perhatikan hal ini, urutan yang tertukar itu bukan kesalahan. Di pembilang ada matriks A_j,i, yaitu submatriks dari matriks A yang diperoleh dengan menghapus baris ke-j dan kolom ke-i dari matriks A. Jadi, jika

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

maka berlaku:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Jika kamu tidak suka indeksnya terbalik, rumusnya bisa juga ditulis seperti ini:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^T=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Artinya, jika indeksnya tidak ditukar, kamu akan memperoleh transpos invers matriks. Jika matriks transpos ini ditranspos lagi, kamu memperoleh invers matriksnya.

Perhitungan dengan metode ini biasanya panjang dan terutama cocok untuk pengolahan dengan komputer, karena langkah-langkahnya sangat lugas. Pada contoh berikut, kita hanya akan menghitung dua elemen. Misalkan diberikan matriks berikut:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Pertama, kita hitung determinan seluruh matriks ini, yang digunakan sebagai penyebut pecahan:

$$det(A)=-1$$

Sekarang kita hitung elemen pertama invers matriks. Elemen ini kita beri lambang $a_{11}^{-1}$. Nilainya:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Kita memerlukan submatriks A_1,1. Dengan menghapus baris pertama dan kolom pertama, kita peroleh:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Sekarang kita perlu menghitung determinan matriks ini:

$$det(A_{1,1})=8$$

Sekarang semuanya dapat disubstitusikan ke dalam rumus:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

Kita sudah memperoleh elemen pertama invers matriks.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Elemen kedua diperoleh sebagai berikut:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Determinan submatriksnya sama dengan

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

Dengan menyubstitusikan semuanya, kita peroleh:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Satu bagian lagi dari teka-teki ini:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Dan seterusnya.