Operasi pada relasi

Karena relasi sebenarnya adalah himpunan, kita dapat melakukan operasi himpunan yang biasa pada relasi.

Operasi himpunan

Pada artikel sebelumnya, kita mendefinisikan relasi sebagai himpunan. Pada himpunan, kita dapat melakukan operasi seperti gabungan, irisan, atau selisih. Mari kita lihat apa artinya untuk relasi.

Pertama, kita harus menetapkan satu syarat, karena operasi-operasi ini tidak dapat dilakukan antara sembarang relasi. Jika kita memiliki relasi “kurang dari” dan “merupakan bilangan genap”, operasi-operasi ini tidak bermakna, karena relasi pertama biner, sedangkan relasi kedua uner. Agar setelah operasi himpunan kita kembali memperoleh relasi, semua relasi yang terlibat harus memiliki aritas yang sama, yaitu semuanya harus n-ary untuk suatu n.

Gabungan

Misalkan ada relasi “kurang dari” dan relasi “sama dengan”. Apa yang terjadi jika kedua relasi ini kita gabungkan? Relasi kurang dari memuat semua pasangan (a, b) yang memenuhi a < b. Relasi sama dengan memuat semua pasangan (a, b) yang memenuhi a = b. Jadi, relasi < ∪ = memuat semua pasangan (a, b) yang memenuhi a < b atau a = b. Bilangan a kurang dari bilangan b atau sama dengannya. Relasi ini sudah kita kenal dengan nama “kurang dari atau sama dengan” dan lambang ≤.

Jika diberikan relasi R₁ dan R₂, gabungannya menghasilkan relasi R = R₁ ∪ R₂ dengan sifat: elemen r berada dalam relasi R jika elemen itu berada dalam relasi R₁ atau dalam relasi R₂. Dengan kata lain, suatu elemen termasuk dalam relasi hasil jika elemen itu termasuk dalam paling sedikit satu relasi yang digabungkan.

Irisan

Pada gabungan, kita memperoleh relasi baru yang elemennya termasuk dalam paling sedikit satu relasi yang digabungkan. Irisan serupa, hanya saja elemennya harus termasuk dalam kedua relasi.

Jika kita ambil lagi relasi kurang dari dan relasi sama dengan (pada bilangan real) lalu kita cari irisannya, apa yang kita peroleh? Seharusnya kita memperoleh elemen yang berada dalam relasi kurang dari dan sekaligus sama besar. Namun, hal ini tidak mungkin terjadi, karena jika a < b, tidak pernah berlaku a = b. Kita memperoleh relasi kosong.

Misalkan ada dua relasi berikut: relasi “habis membagi” dan relasi biner yang memuat pasangan (a, b) dengan a bilangan ganjil dan b bilangan genap. Kita bekerja pada bilangan asli. Relasi pertama memuat pasangan bilangan seperti (5, 15), (6, 30), (3, 123) — bilangan kedua selalu habis dibagi bilangan pertama. Relasi kedua memuat pasangan bilangan dengan bilangan pertama ganjil dan bilangan kedua genap: (1, 4), (5, 14), (3, 24), dan sebagainya. Irisan kedua relasi ini menghasilkan relasi baru R yang memuat pasangan (a, b) dengan b habis dibagi a, sekaligus a ganjil dan b genap. Misalnya: (5, 30) atau (3, 24).

Selisih

Jika diberikan dua relasi R₁ dan R₂, selisih R₁ − R₂ menghasilkan relasi baru yang memuat elemen-elemen yang berada dalam R₁, tetapi tidak berada dalam R₂. Kita bisa kembali ke relasi kurang dari atau sama dengan dan relasi sama dengan. Jika R₁ adalah relasi kurang dari atau sama dengan dan R₂ adalah relasi sama dengan, selisih R₁ − R₂ memuat elemen-elemen yang berada dalam relasi kurang dari atau sama dengan, tetapi tidak berada dalam relasi sama dengan. Jadi, kita memperoleh pasangan (a, b) yang memenuhi a ≤ b tetapi tidak memenuhi a = b. Dengan kata lain, kita memperoleh relasi kurang dari: <.

Komplemen relasi

Untuk setiap relasi, kita dapat mencari komplemennya. Elemen komplemen relasi R adalah semua elemen yang tidak termasuk dalam relasi R semula. Misalnya, komplemen relasi sama dengan (yaitu =) adalah relasi tidak sama dengan. Relasi pertama memuat semua pasangan elemen yang sama (misalnya 5 = 5), sedangkan komplemennya memuat semua pasangan bilangan yang tidak sama (misalnya 5 ≠ 6).

Satu-satunya hal yang perlu diperhatikan saat menentukan komplemen relasi adalah himpunan dasarnya, yaitu himpunan tempat relasi itu didefinisikan. Relasi sama dengan dapat didefinisikan pada bilangan asli, bilangan bulat, bilangan real, atau bahkan pada himpunan semua manusia di bumi.

Jika R adalah relasi biner antara himpunan M₁ dan M₂, yaitu R ⊆ M₁ × M₂, komplemen relasinya, misalkan kita beri lambang S, sama dengan S = (M₁ × M₂) ∖ R: komplemen ini memuat elemen-elemen yang berada dalam hasil kali Kartesius himpunan dasarnya, tetapi tidak berada dalam relasi R. Hal yang serupa berlaku untuk relasi dengan aritas lain.