Relações binárias em um conjunto

Por relação binária em um conjunto entendemos uma relação binária definida entre dois conjuntos iguais.

Exemplos

Uma relação binária em um conjunto é um tipo especial de relação binária em que os dois conjuntos base são o mesmo. Uma relação binária em um conjunto é, portanto, uma relação R tal que R ⊆ M × M.

A relação “maior que” é uma relação binária em um conjunto, porque dos dois lados trabalhamos com números. Ou seja, vale > ⊆ ℝ × ℝ. A relação “pai — número de filhos” não é uma relação binária em um conjunto, porque o pai é escolhido do conjunto de todas as pessoas, enquanto o número de filhos é escolhido de algum conjunto numérico.

Propriedades

Uma relação binária R em um conjunto M pode ter algumas propriedades interessantes. Dizemos que a relação R é…

• reflexiva se, para todo a ∈ M, vale (a, a) ∈ R.
• simétrica se, para todos a, b ∈ M, vale que, se (a, b) ∈ R, então também (b, a) ∈ R.
• antissimétrica se, para todos a, b ∈ M, vale que, se (a, b) ∈ R e, ao mesmo tempo, também (b, a) ∈ R, então a = b.
• transitiva se, para todos a, b, c ∈ M, vale que, se (a, b) ∈ R e, ao mesmo tempo, (b, c) ∈ R, então também (a, c) está em R.

Exemplos de reflexividade

Reflexividade significa que o elemento está em relação consigo mesmo. Um exemplo típico é a igualdade. Se temos a igualdade definida nos números naturais, certamente vale, para qualquer elemento a: a = a. Outro exemplo é a divisibilidade. Nela, vale novamente que o número a é divisível por ele mesmo, ou seja, o par (a, a) está na relação de divisibilidade (sete divide sete).

Já a relação menor que não é reflexiva, porque não vale a < a. Isso não é possível: sete não pode ser menor que sete. Do mesmo modo, a relação ser pai do seu filho — eu não posso ser meu próprio pai. Essas relações não são reflexivas.

O importante é que a reflexividade deve valer para todos os elementos; não basta encontrar apenas alguns. Por exemplo, a relação “gostar de alguém”. Posso gostar de alguém, por exemplo, do meu professor, mas também posso gostar de mim mesmo. Certamente existe uma pessoa que gosta de si mesma. Mas, do mesmo modo, existe uma pessoa que não gosta de si mesma. Essa relação, então, não é reflexiva — todas as pessoas teriam de gostar de si mesmas.

Exemplos de simetria

Em uma relação simétrica, se um par está na relação, o par inverso também está. Por exemplo, a relação ser irmão ou irmã. Se Pedro é irmão de Ana, então Ana também é irmã de Pedro. Entre as relações numéricas, poderia ser a relação “ser o número oposto”. Com isso quero dizer os pares 2 e −2 ou −7 e 7. São dois números que, somados, dão zero. Essa relação é simétrica, porque a ordem simplesmente não importa: (2, −2) e (−2, 2) continuam sendo números opostos entre si e, somados, dão zero.

Uma relação que não é simétrica é menor que (sobre os números reais). Ela não tem nenhum elemento simétrico, porque nunca pode valer a < b e, ao mesmo tempo, b < a. Se 5 < 15, não pode valer 15 < 5. Também não é simétrica a relação “ser pai do seu filho”. Você pode ser pai do seu filho, mas então o filho não pode ser pai do seu pai.

Essa propriedade também deve valer para todos os casos. Para que a relação “gostar de alguém” (no conjunto de todas as pessoas) fosse simétrica, se eu gosto de uma atriz famosa, ela teria de gostar de mim ao mesmo tempo. E, como ela nem me conhece, não posso dizer que ela gosta de mim, o que é uma pena, e a relação não é simétrica. O que também é uma pena.

Exemplos de antissimetria

Um exemplo clássico de relação antissimétrica é menor ou igual. A antissimetria nos diz que, se os elementos (a, b) e (b, a) estão na relação, isso só acontece quando eles são iguais, a = b. A relação menor ou igual cumpre isso. Quando vale a ≤ b e, ao mesmo tempo, b ≤ a? Somente no caso em que a = b. Substituindo: vale 3 ≤ 5 e, ao mesmo tempo, 5 ≤ 3? Não. Mas vale 4 ≤ 4 e, ao mesmo tempo, 4 ≤ 4.

Um exemplo de relação que não é antissimétrica pode ser o dos pares de palavras que têm o mesmo comprimento, por exemplo (janela, enxada). Essa relação não é antissimétrica, porque encontramos um par de palavras que está na relação, o seu elemento inverso também está na relação e, mesmo assim, as duas palavras são diferentes. Ou seja, o elemento já mencionado (janela, enxada) e o seu inverso: (enxada, janela). Ambos estão claramente na nossa relação, mas, ao mesmo tempo, janela ≠ enxada, portanto a relação não é antissimétrica.

Exemplo de transitividade

A relação menor que é transitiva. A transitividade nos diz que, se 3 < 4 e, ao mesmo tempo, 4 < 5, então certamente também deve valer 3 < 5. Para muitas relações, essa é uma propriedade bastante natural. Do mesmo modo, no exemplo das palavras de mesmo comprimento. Se (enxada, janela) estão na relação e (janela, tijolo) estão na relação, então também as palavras (enxada, tijolo) estão na relação.

A relação ser pai do filho não é transitiva. Se Carlos é pai de Fábio e Fábio é pai de Miguel, então Carlos não é pai de Miguel, é seu avô. Do mesmo modo, a relação gostar de alguém não é transitiva. Se eu gosto de Beatriz e Beatriz gosta do marido dela, isso não significa que eu também goste do marido de Beatriz.

A transitividade também é discutida nos dados clássicos de jogo. Considere a relação “o dado A é melhor que o dado B”, que vale quando no dado A sai com mais frequência (com maior probabilidade) um número mais alto do que no dado B. Essa relação é transitiva? A resposta está no artigo dados não transitivos.

Equivalência e ordem

Alguns tipos especiais de relações binárias também têm nome próprio:

• Equivalência é uma relação que é reflexiva, simétrica e transitiva.
• Ordem é uma relação que é reflexiva, antissimétrica e transitiva.