Dadu nontransitif

Bayangkan kamu mempunyai tiga dadu bersisi enam yang sisi-sisinya bertuliskan bilangan sembarang. Mungkinkah dadu A lebih sering menunjukkan bilangan yang lebih besar daripada dadu B, dadu B lebih sering menunjukkan bilangan yang lebih besar daripada dadu C, dan dadu C lebih sering menunjukkan bilangan yang lebih besar daripada dadu A?

Sifat transitif

Sifat transitif adalah pengertian dari relasi biner. Relasi R pada M disebut transitif jika untuk semua a, b, c ∈ M berlaku: jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) juga termasuk R.

Untuk dadu, kita dapat mempunyai relasi “menjadi dadu yang lebih baik”, dalam arti dadu A lebih baik daripada dadu B jika dadu A lebih sering menunjukkan bilangan yang lebih besar daripada dadu B. Sifat transitif akan berbunyi seperti ini: jika dadu A lebih baik daripada dadu B dan dadu B lebih baik daripada dadu C, maka dadu A juga harus lebih baik daripada dadu C. Benarkah begitu?

Kita coba mencari contoh penyangkal, yaitu tiga dadu yang secara melingkar lebih baik satu dari yang lain. Dadu A lebih baik daripada dadu B, dadu B lebih baik daripada dadu C, dan dadu C lebih baik daripada dadu A. Kita hanya memperhatikan dadu bersisi enam.

Contoh

Contohnya adalah tiga dadu berikut:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Berapa peluang dadu A menunjukkan bilangan yang lebih besar daripada dadu B? Seluruhnya ada 36 pasangan hasil yang berbeda. Jika dadu B menunjukkan angka satu yang pertama, dadu A selalu menunjukkan bilangan yang lebih besar. Jadi, ada 6 pasangan yang dadu A-nya menunjukkan bilangan lebih besar. Jika B menunjukkan angka satu yang kedua, ada 6 pasangan lagi yang A-nya lebih besar. Jika muncul salah satu angka enam, A harus menunjukkan salah satu angka sembilan. Itu 4 kemungkinan lagi. Jika muncul salah satu angka delapan, A harus menunjukkan salah satu angka sembilan. Sekali lagi 4 kemungkinan. Seluruhnya ada 6 + 6 + 4 + 4 = 20 kemungkinan. Jadi, peluang A menunjukkan bilangan yang lebih besar adalah 20/36 = 5/9, sekitar 56%.

Sekarang B lawan C. Jika C menunjukkan salah satu angka tiga, B harus menunjukkan salah satu angka enam atau salah satu angka delapan. Itu 2 · 4 = 8 kemungkinan. Jika muncul angka lima, B juga harus menunjukkan 6 atau 8, jadi sekali lagi 8 kemungkinan. Jika muncul angka tujuh, B harus menunjukkan angka delapan, 4 kemungkinan. Seluruhnya 8 + 8 + 4 = 20. Peluangnya sekali lagi 5/9.

Terakhir, C lawan A. Jika A menunjukkan angka dua, semua bilangan pada C lebih besar. Itu 12 kemungkinan. Jika muncul angka empat, C dapat menunjukkan 5 atau 7. Itu 8 kemungkinan. Jika muncul angka sembilan, kita sial. Seluruhnya ada 12 + 8 = 20 kemungkinan, dan sekali lagi diperoleh peluang 5/9.

Dadu Efron

Dadu Efron adalah contoh lain himpunan dadu yang tidak transitif terhadap relasi menjadi dadu yang lebih baik. Bilangan-bilangannya sebagai berikut:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Setiap dadu mengalahkan dadu berikutnya selalu dengan peluang 2/3. Misalnya, jika dadu A menunjukkan angka empat, dadu itu menang atas dadu B. Jika menunjukkan nol, dadu itu kalah. Dadu A menunjukkan angka empat dengan peluang 2/3. Begitu pula untuk dadu-dadu lainnya.

Ada juga varian lain dadu Efron. Ada yang nilai rata-rata satu lemparannya sama untuk semua dadu (pada dadu di atas tidak demikian: misalnya dadu A rata-rata menunjukkan 8/3, sedangkan rata-rata C lebih besar, 10/3), dan ada yang membagi semua bilangan asli dari 1 sampai 24 di antara dadu-dadunya.

Sumber lain

• Wikipedia bahasa Inggris