Sistem persamaan linear

Sistem persamaan linear adalah himpunan m persamaan linear dengan n variabel. Dengan menyelesaikan sistem ini, kita memperoleh nilai-nilai yang dapat disubstitusikan untuk n variabel kita sehingga semua persamaan terpenuhi.

Definisi sistem persamaan linear

Kamu tentu pernah menjumpai sistem sederhana seperti

$\begin{array}{ccccc} a_{11} x & + & a_{12} y & = & b_{1} \\ a_{21} x & + & a_{22} y & = & b_{2} \end{array}$

dengan a₁₁,…,a₂₂, b₁, b₂ bilangan real yang diketahui, sedangkan x dan y adalah variabel. Banyaknya penyelesaian sistem persamaan ini bisa berbeda-beda — tidak ada, satu, atau tak hingga banyaknya, seperti pada persamaan linear biasa. Pada sistem persamaan linear, pertanyaan tentang banyaknya penyelesaian dan cara mencarinya lebih rumit daripada pada persamaan linear sederhana.

Definisi sistem persamaan linear:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array}$

dengan a₁₁, …, a_mn, b₁, …, b_m bilangan real. Sistem ini disebut sistem m persamaan linear dengan n variabel x₁, …, x_n dan koefisien a₁₁, …, a_mn. Contoh konkret sistem persamaan linear bisa seperti ini:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & + & - 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & - 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Namun, jika suatu a_ij negatif, biasanya sistemnya ditulis dalam bentuk berikut:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & - & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Namun, tetap berlaku a₁₂ = −2 dan a₂₄ = −10.

Penulisan dalam bentuk matriks

Sistem ini dapat diubah ke bentuk matriks. Kita definisikan tiga matriks: satu untuk koefisien, satu untuk ruas kanan persamaan, dan satu untuk variabel-variabelnya. Matriks-matriksnya terlihat seperti ini:

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$

Matriks A memuat koefisien persamaan-persamaan semula dan disebut “matriks koefisien”, matriks b memuat ruas kanan persamaan, dan matriks x memuat variabel-variabelnya. Seluruh sistem persamaan kemudian dapat ditulis sebagai persamaan

$A x = b$

Persamaan ini bermakna, karena di ruas kiri ada hasil kali dua matriks dan di ruas kanan ada matriks, dan ordonya cocok. Mari kita coba mengalikan ruas kiri. Kita mengalikan matriks berordo m × n dengan matriks berordo n × 1, sehingga matriks hasilnya berordo m × 1, yaitu memiliki m baris dan satu kolom. Sejauh ini semuanya cocok.

Sekarang kita lakukan algoritma biasa perkalian matriks, dimulai dengan baris pertama matriks A dan kolom pertama matriks x (tidak ada kolom lain). Kita peroleh:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n}$

Dengan jumlah ini kita memperoleh elemen pertama matriks baru, yaitu nilai b₁. Jika semuanya kita tuliskan dalam persamaan, kita peroleh:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}$

Kita memperoleh tepat persamaan pertama dari sistem persamaan kita. Dengan cara yang sama kita lanjutkan untuk baris-baris lainnya. Selanjutnya kita definisikan juga matriks lengkap (augmented) sistem, yaitu matriks koefisien yang ditambah matriks b seperti ini:

$B = (A | b) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix})$

Selanjutnya kita akan memperhatikan rank matriks lengkap ini. Rank matriks koefisien semula kita tulis rank(A), dan rank matriks lengkap rank(A|b). Bagaimana hubungan kedua rank ini? Jika pada matriks A kita tambahkan kolom b, ada dua kemungkinan: jika kolom baru ini merupakan kombinasi linear kolom-kolom matriks A, rank-nya tidak berubah. Jika bukan kombinasi linear, rank-nya bertambah satu.

Teorema Rouché–Capelli

Rank matriks lengkap penting bagi kita karena berlaku teorema penting berikut, yaitu teorema Rouché–Capelli (di beberapa negara dikenal sebagai teorema Frobenius): Sistem persamaan Ax = b memiliki penyelesaian jika dan hanya jika rank matriks koefisien sama dengan rank matriks lengkap: rank(A) = rank(A|b).

Mari kita tunjukkan bahwa teorema ini berlaku paling tidak dalam satu arah — jika x = β adalah penyelesaian persamaan Ax = b, maka rank(A) = rank(A|b). Jika kedua rank ini sama, kolom b pasti merupakan kombinasi linear kolom-kolom matriks A. Mari kita jabarkan. Matriks β berbentuk:

$β = (\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix})$

Kita menyatakan bahwa jika β₁ disubstitusikan untuk x₁, dan seterusnya, semua persamaan dalam sistem akan terpenuhi:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} β_{1} & + & a_{12} β_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} β_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} β_{1} & + & a_{22} β_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} β_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} & + & a_{m 2} β_{2} & + & \dots & + & a_{m n} β_{n} & = & b_{m} \end{array}$

Sekarang persamaan-persamaan ini kita tulis ulang sedikit. Jika kita lihat kolom pertama, di sana selalu ada nilai a₁₁, a₂₁, …, a_m1 yang dikalikan dengan nilai yang sama, yaitu β₁. Jika kolom ini kita jadikan matriks tersendiri, nilai β₁ dapat kita keluarkan sebagai faktor di depan matriks, sehingga diperoleh:

$(\begin{matrix} a_{11} β_{1} \\ a_{21} β_{1} \\ ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} \end{matrix}) = β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix})$

Dengan cara ini, seluruh sistem dapat kita tulis ulang:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Agar persamaan ini berlaku, matriks di ruas kanan harus merupakan kombinasi linear matriks-matriks kolom di ruas kiri, dan nilai β₁, …, β_n harus menjadi koefisiennya.

Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa jika matriks β merupakan penyelesaian sistem persamaan, ruas kanan sistem, yaitu matriks b, harus merupakan kombinasi linear kolom-kolom matriks koefisien. Dan jika kolom matriks b merupakan kombinasi linear kolom-kolom matriks A, matriks A harus memiliki rank yang sama dengan matriks (A|b).

Selain itu, jika rank(A) = rank(A|b) = k dan k sama dengan banyaknya variabel, yaitu k = n, sistem memiliki tepat satu penyelesaian. Jika k < n, sistem memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian, dan untuk menuliskannya kita memerlukan n − k parameter.

Operasi baris elementer

Selanjutnya, dari persamaan sebelumnya terlihat bahwa jika pada matriks (A|b) kita lakukan operasi baris elementer, penyelesaian sistem persamaan tidak berubah. Jika baris pertama kita tambahkan pada baris kedua, kita memperoleh persamaan:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} + a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} + a_{12} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} + a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} + b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Jika baris kedua kita jabarkan, kita peroleh:

$β_{1} (a_{21} + a_{11}) + β_{2} (a_{22} + a_{12}) + \dots + β_{n} (a_{2 n} + a_{1 n}) = b_{1} + b_{2}$

Kita hilangkan tanda kurungnya:

$β_{1} a_{21} + β_{1} a_{11} + β_{2} a_{22} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{2 n} + β_{n} a_{1 n} = b_{1} + b_{2}$

Sekarang kita ubah sedikit urutannya:

$(β_{1} a_{11} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{1 n}) + (β_{1} a_{21} + β_{2} a_{22} + \dots + β_{n} a_{2 n}) = b_{1} + b_{2}$

Kurung pertama sebenarnya adalah baris pertama, dan kurung kedua adalah baris kedua semula. Kita tahu bahwa baris pertama sama dengan nilai b₁ dan baris kedua sama dengan nilai b₂. Hal ini kita ketahui dari persamaan-persamaan semula. Jadi, kurung pertama dapat kita ganti dengan b₁ dan kurung kedua dengan b₂:

$b_{1} + b_{2} = b_{1} + b_{2} .$

Dengan cara yang serupa, seluruh baris dapat dikalikan dengan konstanta c ≠ 0 tanpa mengubah kebenaran sistem persamaan. Namun, hati-hati: operasi kolom tidak boleh dilakukan.

Sistem dengan tepat satu penyelesaian

Dengan contoh berikut, kita tunjukkan cara menyelesaikan sistem yang memiliki tepat satu penyelesaian. Misalkan diberikan sistem persamaan berikut:

$\begin{array}{ccccccc} 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 7 x_{3} & = & 47 \\ 3 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & x_{3} & = & 50 \\ 3 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 27 \end{array}$

Matriks A terlihat seperti ini:

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix})$

Sekarang kita hitung rank matriks ini:

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 6 & 16 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 7 & - 19 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 21 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 0 & 78 \end{matrix})$

Terlihat bahwa rank(A) = 3. Dari sini juga diperoleh rank(A|b) = 3, karena matriks berordo 3 × 4 paling banyak memiliki rank tiga. Sistem ini memiliki tiga variabel, sehingga seluruh sistem memiliki tepat satu penyelesaian. Bagaimana cara menemukannya?

Metode eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss dilakukan dengan mengubah matriks lengkap sistem ke bentuk eselon baris. Dengan mengubah matriks ke bentuk eselon baris, kita dapat menentukan nilai satu variabel. Setelah menemukan nilai satu variabel, nilai tersebut dapat kita substitusikan ke persamaan-persamaan lainnya.

Matriks (A|b) berbentuk:

$(A | b) = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{matrix})$

Kita ubah ke bentuk eselon baris. Kita lakukan operasi yang sama seperti pada langkah sebelumnya, hanya saja kali ini operasinya kita terapkan juga pada kolom keempat:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 6 & 16 & 2 & 100 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 7 & - 19 & - 41 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 21 & 21 & 189 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 0 & 78 & 312 \end{array}) \end{array}$

Karena kita hanya melakukan operasi baris elementer, matriks ini menggambarkan sistem persamaan yang ekuivalen — sistem dengan himpunan penyelesaian yang sama. Sistemnya kita tulis ulang dari bentuk matriks ke bentuk biasa dengan menggunakan koefisien dari matriks terakhir:

$\begin{array}{ccccccc} 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & + & 21 x_{3} & = & 141 \\ 21 x_{2} & - & 57 x_{3} & = & - 123 \\ 78 x_{3} & = & 312 \end{array}$

Sekarang kita mulai dari persamaan terakhir. Persamaan itu menyatakan 78x₃ = 312. Berapakah nilai x₃? Ini persamaan linear sederhana, sehingga

$\begin{array}{rcl} 78 x_{3} & = & 312 \\ x_{3} & = & \frac{312}{78} \\ x_{3} & = & 4 \end{array}$

Kita sudah memperoleh nilai variabel pertama, yaitu x₃. Nilai ini kita substitusikan ke persamaan kedua. Kita peroleh persamaan:

$\begin{array}{rcl} 21 x_{2} - 57 x_{3} & = & - 123 \\ 21 x_{2} - 57 \cdot 4 & = & - 123 \\ 21 x_{2} & = & - 123 + 228 \\ 21 x_{2} & = & 105 \\ x_{2} & = & \frac{105}{21} \\ x_{2} & = & 5 \end{array}$

Terakhir, kedua nilai yang sudah dihitung kita substitusikan ke persamaan pertama:

$\begin{array}{rcl} 6 x_{1} + 9 x_{2} + 21 x_{3} & = & 141 \\ 6 x_{1} + 9 \cdot 5 + 21 \cdot 4 & = & 141 \\ 6 x_{1} + 45 + 84 & = & 141 \\ 6 x_{1} & = & 12 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

Nilai variabel x₁ sama dengan dua. Sekarang penyelesaiannya sudah lengkap. Kita bisa menulis x = (x₁, x₂, x₃) = (2, 5, 4). Terlihat bahwa metode eliminasi Gauss adalah cara yang sederhana, tetapi ampuh, untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Tak hingga banyaknya penyelesaian

Jika rank(A) = rank(A|b) = k dan k kurang dari banyaknya variabel, k < n, sistem memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian. Mari kita ambil contoh sederhana:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 12 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 15 \end{array}$

Terlihat bahwa persamaan kedua sama dengan tiga kali persamaan pertama. Jika persamaan pertama kita kalikan minus tiga dan kita tambahkan pada baris kedua, kita peroleh:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & = & 0 \end{array}$

Sekarang banyaknya variabel sama dengan dua, n = 2, rank matriks koefisien sama dengan satu, rank(A) = 1, dan rank matriks lengkap juga sama dengan satu, rank(A|b) = 1. Berlaku k < n, sehingga sistem memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian. Bagaimana cara menemukan penyelesaian-penyelesaian ini?

Mari kita lihat persamaan-persamaannya. Persamaan kedua terpenuhi untuk semua x₁, x₂, sehingga yang perlu kita perhatikan hanya persamaan pertama. Sebenarnya semua pasangan x₁, x₂ yang memenuhi persamaan pertama membentuk himpunan semua penyelesaian sistem persamaan ini. Jadi, kita cari penyelesaian persamaan 4x₁ + x₂ = 5. Persamaan ini kita ubah ke bentuk x₂ = 5 − 4x₁.

Selanjutnya kita gunakan bantuan parameter. Kita pilih parameter t. Sekarang kita berusaha menyatakan pasangan x₁, x₂ dengan parameter t, sehingga kita bisa menulis, misalnya, bahwa semua pasangan berbentuk (t, t + 2) merupakan penyelesaian sistem. Jadi, pasangan seperti (1, 3) atau (14, 16). Tujuannya adalah menyatakan nilai satu variabel dengan variabel lain, sehingga kita tahu, misalnya, bahwa jika x₁ bernilai sekian, x₂ bernilai tiga kali lipatnya. Sebagai titik awal kita pilih x₁.

Jadi, kita tetapkan t = x₁. Jika variabel x₁ bernilai t, berapakah nilai variabel x₂? Hal itu terlihat dari persamaan sebelumnya: nilainya x₂ = 5 − 4x₁. Jadi, jika x₁ = t, maka x₂ = 5 − 4t. Kita bisa menulis bahwa semua pasangan berbentuk (t, 5 − 4t) merupakan penyelesaian sistem persamaan.

Kita bisa memeriksanya. Jika kita substitusikan satu untuk t, kita peroleh: x₁ = 1 dan x₂ = 5 − 4 · 1 = 1. Nilai-nilai ini kita substitusikan ke persamaan: 4 · 1 + 1 = 5, persamaannya terpenuhi.

Jika kita substitusikan lima untuk t, kita peroleh: x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15. Setelah disubstitusikan ke persamaan: 4 · 5 − 15 = 5. Cocok.

Penyelesaian umum dan penyelesaian khusus

Penyelesaian sistem persamaan yang ditulis dengan parameter disebut penyelesaian umum. Penyelesaian konkret, yaitu jika untuk parameter kita substitusikan bilangan konkret, disebut penyelesaian khusus.

Jadi, dari contoh sebelumnya: (x₁, x₂) = (t, 5 − 4t) adalah penyelesaian umum sistem persamaan, sedangkan (1, 1) dan (5, −15) adalah penyelesaian khusus.

Jika diberikan matriks koefisien A dan matriks lengkap (A|b) dengan rank yang sama, rank(A) = rank(A|b) = k, untuk menyatakan penyelesaian umum kita memerlukan n − k parameter. Perhatikan bahwa jika n = k, kita memerlukan nol parameter. Itulah kasus ketika sistem memiliki tepat satu penyelesaian — tidak diperlukan parameter.

Contoh soal

Selesaikan sistem persamaan linear berikut:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Pertama, kita hitung rank matriks A dan (A|b). Matriks lengkap kita ubah ke bentuk eselon baris, sehingga kita mengetahui rank kedua matriks. Mari kita mulai. (Baris pertama kita kalikan dua, lalu baris pertama dan kedua kita jumlahkan dan hasilnya kita kurangkan dari baris ketiga. Selanjutnya, baris kedua kita kurangi baris pertama, dan terakhir baris pertama kita bagi lagi dengan dua.)

$\begin{array}{rcl} (A | b) = (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Dari matriks terakhir ini terlihat bahwa rank(A) = rank(A|b) = k = 2. Banyaknya variabel adalah n = 4, sehingga kita memerlukan n − k = 2 parameter. Kita tuliskan persamaan-persamaan menurut matriks terakhir:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ - x_{1} & - & 6 x_{3} & = & 0 \end{array}$

Dari persamaan kedua kita peroleh

$\begin{array}{rcl} - x_{1} - 6 x_{3} & = & 0 \\ - x_{1} & = & 6 x_{3} \\ x_{1} & = & - 6 x_{3} \end{array}$

Kita pilih parameter pertama, t = x₃. Maka kita bisa menulis x₁ = −6t. Hasil ini dapat kita substitusikan ke persamaan pertama:

$\begin{array}{rcl} 3 (- 6 t) - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 18 t - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 14 t - 2 x_{2} + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 2 x_{2} & = & 1 + 14 t - 5 x_{4} \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} x_{4} \end{array}$

Sekarang kita gunakan parameter kedua, s = x₄. Maka kita bisa menulis

$x_{2} = - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s$

Dengan begitu kita memperoleh penyelesaian umum sistem:

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (- 6 t, - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s, t, s)$

Kita bisa mencoba beberapa penyelesaian khusus. Misalnya, s = t = 0. Maka kita peroleh: $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, - \frac{1}{2}, 0, 0)$ . Setelah disubstitusikan ke persamaan-persamaan semula:

kita memperoleh persamaan-persamaan:

$\begin{array}{ccccccccc} 0 & - & 2 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 1 \\ 0 & - & 4 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 2 \\ 0 & - & 8 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 4 \end{array}$

Setelah suku-suku nol dihilangkan dan pecahannya dikalikan, kita peroleh:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Kita coba penyelesaian khusus lain: s = 2, t = 1. Maka kita peroleh:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 6 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 + 5 = - \frac{5}{2} \\ x_{3} & = & 1 \\ x_{4} & = & 2 \end{array}$

Kita substitusikan ke persamaan-persamaan:

$\begin{array}{ccccccccc} - 18 & - & 2 (- \frac{5}{2}) & + & 4 & + & 10 & = & 1 \\ - 30 & - & 4 (- \frac{5}{2}) & + & 2 & + & 20 & = & 2 \\ - 66 & - & 8 (- \frac{5}{2}) & + & 10 & + & 40 & = & 4 \end{array}$

Kita sederhanakan:

$\begin{array}{ccccccccc} - 4 & + & 5 & = & 1 \\ - 8 & + & 10 & = & 2 \\ - 16 & + & 20 & = & 4 \end{array}$

Dan akhirnya kita peroleh:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Tampaknya penyelesaian umum yang kita peroleh sudah benar.

Daftar isi: Sistem persamaan linear, Aturan Cramer, Sistem persamaan linear homogen

« Artikel sebelumnya: Determinan

Artikel berikutnya: Aturan Cramer »