Ruang vektor

Ruang vektor, yang kadang disebut juga ruang linear, adalah himpunan elemen yang harus memenuhi beberapa sifat, sehingga elemen-elemen himpunan ini, yang kita sebut vektor, berperilaku “dengan baik”.

Contoh ruang vektor

Sebelum mendefinisikan ruang vektor, kita lihat dulu contoh ruang vektor yang seharusnya sudah kamu kenal dari SMA, hanya saja kamu belum tahu bahwa itu ruang vektor. Contohnya adalah vektor biasa pada bidang.

Vektor pada bidang adalah pasangan berurutan (a, b), dengan a, b ∈ ℝ. Vektor ini bisa berupa koordinat apa saja dalam ruang ℝ² (yang dimaksud adalah hasil kali Kartesius ℝ × ℝ). Vektor seperti ini dapat digambarkan sebagai panah dari titik (0, 0) ke titik (a, b). Vektor (2, 3) terlihat seperti ini:

Kita tahu bahwa vektor dapat dijumlahkan menurut aturan (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Jumlah vektor (2, 3) + (4, 1) sama dengan vektor (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4). Secara grafis, jumlah ini digambarkan seperti ini:

Selain itu, kita bisa menghitung perkalian vektor dengan k, dengan k bilangan real. Perkalian dengan k ditulis sebagai k · (a, b). Hasilnya adalah vektor baru yang didefinisikan sebagai k · (a, b) = (k · a, k · b). Secara grafis, vektornya menjadi “lebih panjang”, “lebih pendek”, atau berubah arah. Jika diberikan vektor u = (2, 3), vektor 2 · u, $\frac{1}{2}u$, dan −1 · u terlihat seperti ini:

Bahwa himpunan semua vektor ℝ² dengan operasi yang didefinisikan seperti ini membentuk ruang vektor akan kita buktikan nanti. Pertama, kita definisikan ruang vektor, lalu sifat-sifatnya kita tunjukkan satu per satu pada ruang vektor ℝ² ini.

Definisi ruang vektor

Ruang vektor (disebut juga ruang linear) adalah himpunan tak kosong V yang elemen-elemennya kita sebut vektor. Selain itu, pada himpunan tersebut harus ada dua operasi: penjumlahan vektor, yaitu pemetaan V × V ⟶ V, dan perkalian vektor dengan bilangan real, yaitu pemetaan ℝ × V ⟶ V. (Secara lebih umum, alih-alih himpunan bilangan real dapat digunakan sembarang lapangan (field), tetapi hal ini akan dibahas di artikel-artikel berikutnya.) Penjumlahan vektor dilambangkan dengan tanda +, dan perkalian dengan ·. Kedua operasi ini harus memenuhi syarat-syarat berikut. Artinya, untuk semua x, y, z ∈ V dan untuk semua a, b ∈ ℝ harus berlaku (perhatikan bahwa vektor x, y, z ditulis tebal, sedangkan bilangan a, b ditulis biasa):

1. x + y = y + x: penjumlahan vektor bersifat komutatif. Jika kita kembali ke contoh vektor dalam ℝ², tidak masalah apakah kita menjumlahkan vektor seperti ini (2, 3) + (4, 1) atau sebaliknya: (4, 1) + (2, 3) .

• (x + y) + z = x + (y + z): penjumlahan vektor bersifat asosiatif. Sekali lagi, kita bisa menyubstitusikan beberapa vektor dari ℝ² dan akan terlihat bahwa hasilnya cocok.
• a · (b · x) = (a · b) · x: sifat asosiatif perkalian. Untuk vektor-vektor kita, berlaku bahwa 4 · (5 · (6, 7)) sama dengan (4 · 5) · (6, 7). Keduanya menghasilkan vektor (20 · 6, 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: sifat distributif untuk vektor-vektor dari V. Sekali lagi terlihat bahwa 2 · ((2, 3) + (4, 5)) sama dengan 2 · (2, 3) + 2 · (4, 5). Kedua bentuk menghasilkan vektor (2 · 6, 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x: sifat distributif terhadap penjumlahan bilangan.
• 1 · x = x: jika sembarang vektor dikalikan dengan bilangan real 1, vektornya tidak berubah. Dalam kasus kita berlaku 1 · (5, 8) = (5, 8).
• Ada elemen 0 ∈ V sedemikian sehingga 0 · x = 0. Nol tebal, yaitu 0, disebut vektor nol, sedangkan nol yang tidak tebal, 0, adalah bilangan nol biasa. Poin ini menyatakan bahwa dalam V harus ada vektor yang diperoleh dengan mengalikan sembarang vektor x ∈ V dengan bilangan nol. Untuk ruang ℝ² kita, vektor itu adalah (0, 0), karena untuk semua vektor (a, b) ∈ ℝ² berlaku 0 · (a, b) = (0, 0).

Inilah semua sifat yang harus dipenuhi oleh ruang vektor (ruang linear) V. Jika kita mengalikan vektor dengan suatu bilangan real a, bilangan a ini disebut skalar. Karena itu, kita sering berbicara tentang perkalian dengan skalar, yaitu bentuk a · x, dengan a bilangan real dan x vektor.

Dua makna tanda plus +

Perhatikan bahwa dalam beberapa bentuk, tanda plus + bisa memiliki dua makna. Misalnya, pada poin sifat distributif terhadap penjumlahan bilangan, kita memiliki persamaan (a + b) · x = a · x + b · x. Tanda + di ruas kiri menjumlahkan bilangan real, karena a dan b bilangan real, sedangkan di ruas kanan tanda itu menjumlahkan vektor, karena hasil kali a · x adalah vektor.

Pengenalan makna secara otomatis seperti ini sering digunakan dalam matematika — dari konteksnya selalu jelas penjumlahan mana yang dimaksud. Jika kita memiliki bentuk x + y dan x, y adalah vektor, kita gunakan penjumlahan vektor. Jika x, y bilangan, kita gunakan penjumlahan biasa. Jika keduanya matriks, kita gunakan penjumlahan matriks, dan seterusnya.

Untuk penjumlahan vektor, kita bisa saja menggunakan tanda lain, misalnya ⊕. Dengan begitu, sifat distributif terhadap penjumlahan bilangan dapat ditulis seperti ini: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. Tanda + biasa di sini menyatakan penjumlahan bilangan real a, b, sedangkan tanda ⊕ menyatakan penjumlahan vektor. Namun, biasanya untuk kedua jenis penjumlahan digunakan satu tanda +, dan maknanya diketahui dari konteks. Hal yang sama berlaku untuk tanda ·.

Ruang vektor R²

Pada bagian pertama, kita telah mendefinisikan ruang vektor V = ℝ²; sekarang kita buktikan bahwa ruang ini memang ruang vektor. Pertama, kita harus memeriksa apakah operasi penjumlahan dan perkalian sudah didefinisikan dengan benar. Penjumlahan harus menjumlahkan dua vektor, dan hasilnya harus vektor baru. Syarat ini terpenuhi, karena (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Dengan menjumlahkan dua vektor dari ℝ², kita memperoleh vektor baru dari ℝ².

Jika, misalnya, penjumlahan vektor kita definisikan sebagai jumlah panjang kedua vektor, operasi itu bukan operasi penjumlahan yang sah dalam ruang vektor. Panjang vektor (a, b) dihitung sebagai $\sqrt{a^2+b^2}$. Hasil “penjumlahan” (3, 4) + (5, 12) akan menjadi bilangan $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$, yang bukan vektor dalam ruang ℝ².

Selanjutnya, kita harus memeriksa apakah perkalian sudah didefinisikan dengan benar. Perkalian mengalikan bilangan real dengan vektor dari ℝ², dan hasilnya harus vektor baru dari ℝ². Syarat ini juga terpenuhi, karena perkalian dengan skalar didefinisikan sebagai k · (a, b) = (k · a, k · b).

Kita periksa satu per satu ketujuh sifat yang harus dipenuhi ruang vektor. Untuk vektor x, y kita substitusikan vektor-vektor kita (a, b), (c, d), … sesuai keperluan; jangan kaget.

1. x + y = y + x, sifat komutatif penjumlahan vektor. Apakah penjumlahan vektor yang kita definisikan bersifat komutatif? Ya, karena didefinisikan sebagai (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Jika vektor-vektor di ruas kiri kita tukar, kita peroleh: (c, d) + (a, b) = (c + a, d + b). Karena c + a adalah jumlah dua bilangan real dan penjumlahan bilangan real merupakan operasi yang komutatif, berlaku c + a = a + c, dan hal yang sama untuk pasangan kedua: d + b = b + d. Jadi, berlaku (a + c, b + d) = (c + a, d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Bagian ini akan banyak bermain dengan tanda kurung. Pada dasarnya hanya operasi sederhana, tetapi terlihat rumit karena tanda kurungnya memang banyak. Mari kita hitung jumlah vektor berikut:

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)$$

Karena a, c, e bilangan real dan operasi penjumlahan pada bilangan real bersifat asosiatif, berlaku (a + c) + e = a + c + e. Hal yang sama berlaku untuk koordinat kedua. Jadi, kita bisa menulis

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)$$

Sekarang kita coba menjumlahkan vektor-vektor yang sama dengan susunan tanda kurung yang berbeda:

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a+(c+e),b+(d+f))$$

Sekali lagi berlaku a + (c + e) = a + c + e, sehingga kita bisa menulis

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a+c+e,b+d+f)$$

Jadi, terlihat bahwa bagaimanapun kita menempatkan tanda kurung pada jumlah tiga vektor, kita selalu sampai pada vektor yang sama, yaitu (a + c + e, b + d + f). Jadi, operasi penjumlahan dalam ℝ² bersifat asosiatif dan memenuhi sifat kedua ruang vektor.

Kamu bisa mencoba menyubstitusikan bilangan konkret untuk variabel a, …, f dan akan terlihat bahwa hasilnya cocok.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Sekali lagi, pertama kita jabarkan ruas kiri persamaan, dengan menyubstitusikan vektor (c, d) untuk x:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=a\cdot (b\cdot c,b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c),a\cdot (b\cdot d))$$

Karena perkalian bilangan real bersifat asosiatif, kita peroleh kesamaan a · (b · c) = a · b · c. Jadi, kita bisa menulis:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Sekarang kita jabarkan ruas kanan persamaan, yaitu (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=((a\cdot b)\cdot c,(a\cdot b)\cdot d)$$

Sekali lagi berlaku (a · b) · c = a · b · c, sehingga:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Terlihat bahwa kedua ruas persamaan menghasilkan vektor (a · b · c, a · b · d), sehingga persamaan ini berlaku.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Langkahnya sama; kita jabarkan ruas kiri persamaan:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=a\cdot \left((c+e,d+f)\right)=(a\cdot (c+e),a\cdot (d+f))$$

Karena a, c, e bilangan real, yang memenuhi sifat distributif, kita peroleh kesamaan: a · (c + e) = ac + ae. Jadi, kita bisa menulis:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=(ac+ae,ad+af)$$

Ruas kanan persamaan:

$$a\cdot (c,d)+a\cdot (e,f)=(ac,ad)+(ae,af)=(ac+ae,ad+af)$$

Terlihat bahwa setelah disederhanakan, ruas kiri dan ruas kanan persamaan sama.

• (a + b) · x = a · x + b · x: Langkahnya sangat mirip dengan langkah sebelumnya. Ruas kiri persamaan:

$$(a+b)\cdot (c,d)=((a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d)=(ac+bc,ad+bd)$$

Ruas kanan:

$$a\cdot (c,d)+b\cdot (c,d)=(ac,ad)+(bc,bd)=(ac+bc,ad+bd)$$

• 1 · x = x: Saya sebenarnya tidak yakin ada yang berhasil membaca sampai poin ini, tetapi baiklah, kita lanjutkan :-). Setidaknya poin ini mudah. Kita harus memeriksa bahwa 1 · (a, b) = (a, b). Hal ini tentu benar, karena

$$1\cdot (a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b)$$

• Ada elemen 0 ∈ ℝ² sedemikian sehingga 0 · x = 0: elemen itu adalah vektor (0, 0). Untuk vektor ini berlaku 0 · (a, b) = (0, 0), karena

$$0\cdot (a,b)=(0\cdot a,0\cdot b)=(0,0)$$

Ukuran ruang vektor

Ruang vektor apa yang paling kecil? Dari definisinya kita tahu bahwa ruang vektor adalah himpunan tak kosong V, sehingga ukuran terkecil yang mungkin adalah himpunan dengan satu vektor. Dari poin ketujuh definisi kita tahu bahwa ruang tersebut harus memuat vektor nol. Jadi, himpunan V = {0} adalah calon ruang vektor terkecil.

Penjumlahan dapat kita definisikan sebagai 0 + 0 = 0, dan perkalian sebagai a · 0 = 0. Apa pun yang kita lakukan, kita selalu memperoleh vektor nol. Jelas bahwa himpunan dengan satu anggota ini memiliki ketujuh sifat yang disyaratkan.

Jadi, kita sudah tahu bahwa ada ruang vektor dengan satu anggota. Apakah ada ruang vektor yang memiliki dua elemen? Apakah pada himpunan V = {x, 0} kita dapat mendefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga terbentuk ruang vektor?

Jawabannya tidak, ruang vektor dengan dua elemen tidak ada. Begitu pula tidak ada ruang vektor berhingga lainnya selain ruang dengan satu anggota tadi. Semua ruang vektor lainnya tak berhingga. Namun, seperti yang sudah disinggung, jika alih-alih himpunan bilangan real kita menggunakan lapangan lain yang berhingga, kita bisa memperoleh ruang vektor berhingga yang lain.

Ringkasan

Definisi ruang vektor tidak terlalu sederhana: vektor dan operasinya harus memenuhi total 7 syarat, dan itu tidak sedikit. Di sisi lain, syarat-syarat tersebut cukup sederhana dan mudah dipahami — tujuannya agar vektor mudah diolah. Berkat syarat-syarat ini, vektor dari suatu ruang vektor dapat kita jumlahkan tanpa harus memeriksa apakah hasilnya mungkin vektor dari ruang vektor lain. Begitu pula, kita bisa mengalikan vektor dengan bilangan real dan selalu memperoleh vektor dari ruang yang sama. Bahwa vektor dan operasinya memenuhi sifat komutatif, asosiatif, dan distributif juga cukup wajar.

Ruang vektor juga dapat didefinisikan secara lebih umum. Alih-alih himpunan bilangan real, kita dapat mengambil sembarang lapangan. Namun, hal itu akan dibahas di artikel-artikel berikutnya.