Latis

Latis adalah himpunan terurut dengan sifat tambahan: untuk setiap dua elemen latis harus ada supremum dan infimum yang juga merupakan elemen latis tersebut.

Himpunan atas dan himpunan bawah

Pada awalnya kita memiliki himpunan M yang padanya didefinisikan suatu urutan ≤. Urutan ini boleh sembarang, tetapi harus memenuhi syarat relasi urutan.

Selanjutnya, kita ambil suatu elemen a dari himpunan M. Himpunan atas elemen a dalam himpunan M didefinisikan sebagai semua x ∈ M yang lebih dari atau sama dengan a, yaitu yang memenuhi a ≤ x.

Jika sebagai himpunan kita ambil bilangan asli dan sebagai elemen a = 7, himpunan atasnya adalah himpunan bilangan {7, 8, 9, …}. Pada bilangan real, kita akan memperoleh interval [7, ∞).

Misalkan kita ambil himpunan M = 2^ℕ — himpunan kuasa, yaitu himpunan semua himpunan bagian dari bilangan asli. Jadi, himpunan ini memuat semua himpunan yang dapat kita bentuk dari bilangan asli. Urutannya ditentukan oleh relasi himpunan bagian. Jadi, berlaku {3, 5} ≤ {3, 4, 5}, dan sebagainya.

Himpunan atas dari himpunan {1, 2, 3, 4} terdiri atas semua himpunan yang memuat elemen 1, 2, 3, 4. Misalnya, himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} atau {1, 2, 3, 4, 2323, 454645}. Himpunan {1, 2, 3, 4} sendiri juga termasuk dalam himpunan atasnya.

Himpunan bawah didefinisikan dengan cara serupa — himpunan ini memuat elemen-elemen yang kurang dari atau sama dengan elemen a. Untuk a = 7 dan M bilangan asli, kita memperoleh himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, yaitu bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan tujuh.

Untuk himpunan {1, 2, 3, 4}, kita memperoleh semua himpunan bagian dari himpunan tersebut.

Himpunan atas dan himpunan bawah beberapa elemen

Pada bagian sebelumnya, kita mendefinisikan himpunan atas dan bawah untuk satu elemen. Namun, keduanya juga dapat didefinisikan untuk beberapa elemen. Jika diberikan himpunan M serta elemen a dan b, himpunan atas bersama keduanya memuat elemen-elemen yang lebih dari atau sama dengan a dan sekaligus b. Dengan kata lain, kita hitung himpunan atas masing-masing elemen, lalu kita cari irisannya. Dengan begitu kita memperoleh elemen-elemen yang pasti lebih besar daripada a dan sekaligus lebih besar daripada b.

Kita kembali ke bilangan asli: a = 3, b = 5. Semua elemen yang lebih dari atau sama dengan a membentuk himpunan {3, 4, 5, 6, …}, dan yang lebih dari atau sama dengan b: {5, 6, 7, 8, …}. Sekarang kita cari irisannya, dan hasilnya lagi-lagi himpunan {5, 6, 7, 8, …}. Pada himpunan terurut total, cukup kita tentukan elemen yang lebih besar di antara keduanya, lalu kita hitung himpunan atasnya.

Pada himpunan-himpunan, perhitungannya tidak sesederhana itu. Mari kita coba menghitung himpunan bawah dari himpunan a = {1, 2, 3} dan b = {2, 3, 4}. Himpunan bawah ini terdiri atas semua himpunan yang sekaligus merupakan himpunan bagian dari a dan b. Apakah, misalnya, himpunan {1, 2, 3} himpunan bagian dari a? Ya. Apakah juga himpunan bagian dari b? Tidak. Jadi, himpunan ini tidak termasuk dalam himpunan bawah.

Kita bisa mencari himpunan terbesar yang merupakan himpunan bagian dari a dan b. Jelas himpunan itu adalah {2, 3}, yaitu himpunan yang diperoleh dari irisan a ∩ b. Himpunan ini termasuk dalam himpunan bawah. Begitu pula semua himpunan bagiannya. Sebab, jika misalnya ∅ ⊆ {2, 3} dan sekaligus {2, 3} ⊆ a ∧ {2, 3} ⊆ b, tentu juga ∅ ⊆ a ∧ ∅ ⊆ b. Hal ini mengikuti sifat transitif.

Terakhir, kita definisikan himpunan atas dan himpunan bawah untuk suatu himpunan, bukan hanya untuk sepasang elemen. Misalkan diberikan himpunan M dan suatu himpunan A ⊆ M yang himpunan atas dan bawahnya ingin kita hitung. Berlaku:

$$\begin{array}{rcl}H(A)& =& \{x|\mathrm{\forall }a\in A:x\ge a\}\\ D(A)& =& \{x|\mathrm{\forall }a\in A:x\le a\}\end{array}$$

Supremum dan infimum

Dengan himpunan atas dan bawah, supremum dan infimum dapat didefinisikan dengan mudah. Jika diberikan himpunan M dan elemen a ∈ M, supremum dan infimum elemen a adalah elemen a itu sendiri.

Namun, jika kita ingin mencari supremum dua elemen a, b dari M, caranya berbeda. Supremum elemen a, b, yang dilambangkan a ∨ b atau sup(a, b), sama dengan elemen terkecil dari himpunan atas elemen a, b. Jadi, kita tentukan semua elemen yang lebih dari atau sama dengan elemen a, b, lalu dari elemen-elemen itu kita ambil elemen terkecil. Bukan elemen minimal, tetapi elemen terkecil. Secara umum, elemen terkecil belum tentu ada, sehingga supremum pun secara umum belum tentu ada.

Untuk menghitung infimum, kita cari dulu himpunan bawah kedua elemen, lalu kita cari elemen terbesarnya.

Contoh: kita sudah tahu bahwa himpunan atas bilangan 3 dan 5 adalah himpunan {5, 6, 7, …}. Elemen terkecilnya sama dengan lima. Jadi, berlaku sup(3, 5) = 5.

Kita juga tahu bahwa himpunan bawah dari himpunan a = {1, 2, 3} dan b = {2, 3, 4} sama dengan himpunan semua himpunan bagian dari himpunan {2, 3}. Himpunan-himpunan itu adalah: {2, 3}, {2}, {3}, ∅. Himpunan terbesarnya adalah himpunan {2, 3}. Jadi, himpunan ini adalah infimum dari himpunan a, b. Kita tulis a ∧ b = {2, 3} atau inf(a, b) = {2, 3}.

Definisi latis

Latis S adalah himpunan terurut yang untuk setiap dua elemen a, b ∈ S memiliki supremum dan infimum, dan infimum serta supremum ini termasuk dalam himpunan S. Jadi, himpunan terurut S adalah latis jika

$$\mathrm{\forall }a,b\in S:sup(a,b)\in S\text{dan}inf(a,b)\in S$$

Contoh sederhana latis adalah bilangan real dengan urutan biasa. Berlaku sup(a, b) = max(a, b) dan inf(a, b) = min(a, b), yang selalu merupakan bilangan real.

Keluarga himpunan dengan urutan menurut relasi himpunan bagian, seperti yang kita perkenalkan sebelumnya, juga merupakan latis. Berlaku sup(a, b) = a ∪ b dan inf(a, b) = a ∩ b. Keduanya juga merupakan himpunan dalam keluarga himpunan tersebut.

Jika sebagai keluarga himpunan S kita ambil semua himpunan bagian dua elemen dari bilangan asli (misalnya {1, 2}, {7, 19}, …), himpunan ini bukan latis, karena misalnya sup({1, 2}, {3, 4}) = {1, 2, 3, 4}, dan himpunan {1, 2, 3, 4} bukan elemen himpunan semua himpunan bagian dua elemen dari bilangan asli.