Determinan

Dalam aljabar linear, determinan adalah pemetaan yang memasangkan setiap matriks persegi A dengan suatu skalar yang dilambangkan |A|. Untuk matriks berisi bilangan, determinan sama dengan suatu bilangan real.

Permutasi n-tupel

Untuk mendefinisikan determinan, kita perlu tahu cara menghitung permutasi n-tupel, tepatnya tanda permutasi. Paling mudah saya jelaskan dengan contoh. Misalkan diberikan tripel berurutan (1, 2, 3) yang dipetakan ke tripel (2, 3, 1). Pada permutasi, hal ini biasanya ditulis seperti ini:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

Sekarang kita harus menentukan berapa kali kita menukar bilangan agar dari tripel pertama diperoleh tripel kedua. Yang boleh ditukar hanya bilangan yang bersebelahan. Jadi, kita mulai dari tripel (1, 2, 3). Sekarang kita tukar satu dengan dua: (2, 1, 3). Lalu kita tukar satu dengan tiga: (2, 3, 1), dan permutasi yang dicari sudah diperoleh. Untuk memperoleh hasilnya, kita memerlukan dua kali penukaran. Tanda permutasi mudah ditentukan — jika banyak penukaran genap, tandanya positif. Jika banyaknya ganjil, tandanya negatif. Jadi, dalam kasus kita tanda permutasinya positif. Mari kita tentukan juga tanda permutasi pada contoh berikut:

$$\left(\begin{array}{cccc}4& 2& 3& 1\\ 1& 3& 4& 2\end{array}\right)$$

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

$$(4,2,3,1)\to (4,2,1,3)\to (4,1,2,3)\to (1,4,2,3)\to (1,4,3,2)\to (1,3,4,2)$$

Selesai. Kita memerlukan lima kali penukaran, jadi kali ini kita memperoleh permutasi ganjil (bertanda negatif).

Tanda permutasi dilambangkan dengan simbol Levi-Civita:

$${ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{jika }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ permutasi genap dari }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ -1& \text{jika }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ permutasi ganjil dari }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ 0& \text{untuk lainnya}\end{array}$$

Definisi determinan

Determinan adalah bilangan; determinan hanya didefinisikan untuk matriks persegi dan ditulis sebagai det A atau |A|. Bilangan ini didefinisikan sebagai berikut:

$$|A|=\sum _{i_1,\dots ,i_n}^n{ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}{a}_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \dots \cdot a_{n{i}_n}$$

Mari kita coba menghitung determinan matriks persegi berordo 2 × 2:

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$$

Jika ke dalam definisi kita substitusikan nilai konkret n = 2, kita peroleh rumus berikut:

$$|A|=\sum _{i_1,i_2}^2{ϵ}_{i_1,i_2}\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

Untuk i₁ dan i₂ kita substitusikan berturut-turut nilai 1 dan 2. Dengan begitu kita memperoleh empat kemungkinan: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

Pada kemungkinan a) dan d) kita memperoleh permutasi nol, karena ϵ_1,1 = 0 dan ϵ_2,2 = 0. Jadi, pada langkah ini suku dalam jumlah di rumus bernilai nol, karena 0 · a_1i1 · a_2i2 = 0.

Tersisa kemungkinan b) dan c). Pada kasus b) i₁ = 1, i₂ = 2 kita peroleh: ϵ_1,2 = 1, karena (1, 2) adalah permutasi genap dari (1, 2). Kita memperoleh suku pertama:

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot 3=12$$

Pada kasus yang tersisa, i₁ = 2, i₂ = 1. Nilai ϵ_2,1 sama dengan −1. Kita memperoleh suku kedua:

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=-1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot 2\cdot 1=-2$$

Sekarang kita jumlahkan keempat kasus a) + b) + c) + d) dan kita peroleh

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

Determinan matriks A sama dengan sepuluh.

Perhatikan bahwa pada akhirnya determinan matriks kita hitung sebagai selisih

$$|A|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$$

Rumus ini berlaku secara umum untuk setiap matriks berordo 2 × 2.

Aturan Sarrus

Dengan aturan Sarrus, kita menghitung determinan matriks berordo tiga. Determinan ini sedikit lebih rumit. Mari kita hitung, misalnya untuk matriks berikut:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\end{array}\right)$$

Sekarang kita bekerja seperti pada matriks berordo dua, tetapi agar lebih jelas, matriks ini kita perluas dengan dua baris lagi — di bawah matriks kita salin dua baris pertamanya:

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\\ 5& 3& 2\\ 1& 7& -8\end{array}\right)$$

Jadi, baris pertama dan keempat matriks ini sama, begitu pula baris kedua dan kelima. Sekarang kita jumlahkan hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama, lalu kita kurangi dengan jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal samping. Setelah disubstitusikan, kita peroleh:

$$|A|=[5\cdot 7\cdot 7+1\cdot (-2)\cdot 2+0\cdot 3\cdot (-8)]-[2\cdot 7\cdot 0+(-8)\cdot (-2)\cdot 5+7\cdot 3\cdot 1]=140$$

Sifat-sifat determinan

• Jika suatu baris atau kolom matriks A dikalikan dengan bilangan c ≠ 0, kita memperoleh matriks A', dan untuk determinannya berlaku: c|A| = |A'|. Jadi, jika kamu mengalikan suatu baris matriks dengan tiga lalu menghitung determinannya, determinan matriks semula diperoleh dengan membagi hasil tersebut dengan tiga.

• Jika kelipatan baris ke-i ditambahkan pada baris ke-j, determinan matriks tidak berubah. Hal yang sama berlaku untuk kolom.

• Jika paling sedikit satu baris matriks merupakan baris nol, determinan matriks sama dengan nol.

• Matriks nonsingular selalu memiliki determinan yang tidak sama dengan nol, sedangkan matriks singular selalu memiliki determinan nol.

• Determinan matriks dalam bentuk eselon baris sama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama.

• Jika dua baris matriks ditukar, tanda determinan berubah.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

Dari sifat-sifat di atas diperoleh cara yang cukup sederhana untuk menghitung determinan. Cukup ubah matriks ke bentuk eselon baris, lalu kalikan elemen-elemen pada diagonal utama. Mari kita coba:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Dengan operasi baris elementer biasa, matriks kita ubah ke bentuk eselon baris:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 8& 21\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 0& -107\end{array}\right)$$

Sekarang kita hitung hasil kali elemen-elemen pada diagonal: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Hitunglah determinan matriks berikut:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right)$$

Pertama, sebaiknya kita tukar baris pertama dan kedua agar bilangan terkecil berada di atas. Namun, kita tidak boleh lupa mengubah tandanya:

$$\left|\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Selanjutnya, akan sangat praktis jika baris kedua kita kalikan dua, agar penjumlahannya rapi. Kita tidak boleh lupa mengalikan seluruh determinan dengan setengah:

$$-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Sekarang kita lanjutkan dengan cara biasa:

$$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|& =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& -17& -14& -18\\ 0& -17& -9& -11\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 4& -3\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 0& -43\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-17)\cdot (-1)\cdot (-43)=731\end{array}$$

Ekspansi Laplace

Laplace adalah matematikawan baik hati yang menemukan algoritma lain untuk menghitung determinan matriks. Untuk memahami resep ini, kita harus bisa menentukan submatriks khusus dari matriks semula. Diberikan matriks A, dan kita perlu membentuk submatriks yang diperoleh dengan menghapus satu baris dan satu kolom dari matriks A. Matriks baru ini kita beri lambang $S_{ij}^A$, yang menunjukkan bahwa dari matriks A kita hapus baris ke-i dan kolom ke-j. Contoh:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Submatriks $S_{12}^A$ berbentuk:

$$S_{12}^A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 5\end{array}\right)$$

Selanjutnya, kita definisikan pengertian minor, yang tidak lain adalah determinan submatriks $S_{ij}^A$ yang telah kita definisikan. Minor kita beri lambang yang sama, hanya dengan huruf M, yaitu $M_{ij}^A=|S_{ij}^A|$. Kita juga bisa berbicara tentang minor elemen a_ij, yaitu $M_{ij}^A$.

Dengan minor-minor ini, kita dapat menghitung determinan matriks semula. Pada langkah pertama, kita pilih satu baris (atau kolom) matriks. Kemudian, untuk setiap elemen baris tersebut kita hitung minornya. Jadi, kita memperoleh minor sebanyak elemen baris tersebut. Sekarang determinan matriks semula A berordo n × n dapat dinyatakan sebagai jumlah berbobot minor-minor ini:

$$|A|=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot M_{ij}^A$$

dengan i adalah baris yang kita pilih. Jika kita melakukan iterasi terhadap variabel i, kita menetapkan variabel j — indeks kolom.

Dalam praktiknya, kamu memiliki matriks dan ingin mengetahui determinannya. Kamu ambil satu kolom (atau baris) matriks, untuk setiap elemen di kolom itu kamu tentukan minornya dan tandanya (−1)^{i + j}, lalu semuanya kamu jumlahkan; setiap determinan dikalikan dengan elemen yang minornya adalah matriks tersebut. Karena minor $M_{ij}^A$ masih dikalikan dengan elemen a_ij, akan sangat menguntungkan jika elemen ini bernilai nol. Dengan begitu, sebagian perhitungan tidak perlu dilakukan dan pekerjaanmu jadi lebih ringan. Mari kita hitung determinan matriks berikut:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 8\\ 6& 1& 0\\ 2& 3& 9\end{array}\right)$$

Dalam matriks ini hanya ada satu nol, jadi sebaiknya ekspansi dilakukan menurut baris kedua atau menurut kolom ketiga. Misalnya, kita pilih baris. Pada langkah pertama, kita tentukan submatriks-submatriksnya:

$$\begin{array}{rcl}{S}_{21}^A& =& \left(\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right)\\ S_{22}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right)\\ S_{23}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\end{array}$$

Sekarang kita hitung determinannya, sehingga diperoleh minor-minornya. Untuk matriks berordo dua, hal ini mudah.

$$\begin{array}{rcl}{M}_{21}^A& =& \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|=12\\ M_{22}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|=29\\ M_{23}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|=7\end{array}$$

Sekarang semuanya bisa kita substitusikan ke dalam rumus, i = 2:

$$\begin{array}{rcl}|A|& =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|\cdot 0\\ & =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot 12+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot 29+(-1{)}^{2+3}\cdot 7\cdot 0=-43\end{array}$$

Perhatikan bahwa karena elemen di ujung baris kedua bernilai nol, suku ketiga juga sama dengan nol. Contoh berikutnya:

Hitunglah determinan matriks berikut dengan ekspansi Laplace:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)$$

Di kolom ketiga semuanya kelipatan tiga. Hal ini bisa kita manfaatkan untuk membuat kolom ini berisi nol, sebagai persiapan untuk ekspansi Laplace nanti. Jadi, pada baris kedua kita tambahkan −2 kali baris pertama, pada baris ketiga −3 kali baris pertama, dan pada baris keempat −1 kali.

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ -8& 2& 0& 3\\ -13& 4& 0& 4\\ -2& 5& 0& 1\end{array}\right)$$

Dengan begitu nilai determinannya tidak berubah, tetapi perhitungannya jadi lebih mudah. Kita lakukan ekspansi menurut kolom ketiga, yang hanya memiliki satu elemen tak nol, sehingga dalam ekspansi hanya tersisa minor elemen ketiga di baris pertama:

$$\left|\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right|=(-1{)}^{1+3}\cdot 3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|$$

Di kolom ketiga matriks baru, di ujung paling bawah ada angka satu. Hal ini mudah dimanfaatkan untuk membuat kolom ini berisi nol:

$$\left(\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right)$$

Sekarang kita lakukan ekspansi menurut kolom ketiga. Lagi-lagi hanya ada satu elemen tak nol:

$$3\left|\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\cdot ((-1{)}^{3+3}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|)=3\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|$$

Determinan ini sudah bisa dihitung dengan cara biasa: 3 · (32 − 65) = −99.