二項分布

5問のテストを考えましょう。どの問題にも選択肢が4つあり、正解はそのうち1つだけです。テスト勉強はまったくしていないので、どの問題も当てずっぽうで答えます。ちょうど2問正解する確率はいくつでしょうか。このような確率をあつかうのが二項分布です。

1問だけなら簡単です。4つの選択肢のうち1つが正しいので、正解する確率は $\frac{1}{4}$、まちがえる確率は $\frac{3}{4}$ です。難しいのは、問題が5問あり、そのうち2問が正解、3問が不正解になる確率を求めたい点です。

ある1つの順番

まず、ある1つの順番に注目します。たとえば、最初の2問を正解し、残りの3問をまちがえるとします。これを ○○××× と書きます。○は正解（成功）、×は不正解（失敗）を表します。

各問題で正解するかどうかは、互いに独立です。1問目を正解しても、2問目が有利にも不利にもなりません。そこで、それぞれの問題の確率をかけてよいのです。

$$P(\text{○○×××})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

同じ数のかけ算を累乗でまとめます。

$$P(\text{○○×××})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

累乗を計算します。

$$P(\text{○○×××})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

しかし、これは場合の1つにすぎません。2つの正解は、○×○×× や ×××○○ などの順番でも現れます。どの順番も確率は同じ $\frac{27}{1024}$ です。どの順番にも、やはり $\frac{1}{4}$ が2回、$\frac{3}{4}$ が3回、順番を変えて現れるだけで、かけ算は順番を入れかえても結果が変わらないからです。

では、このような順番は全部でいくつあるでしょうか。5問から正解する2問を選び、選ぶ順番は関係ありません。これは組合せの考え方そのものです。

$${}_5{\mathrm{C}}_2=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

したがって、異なる順番が10通りあり、どれも確率は $\frac{27}{1024}$ です。これらの順番で正解する事象は互いに排反なので、確率をたします。これは10倍することと同じです。

$$P(\text{ちょうど2問正解})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\fallingdotseq 0.26$$

したがって、当てずっぽうでちょうど2問正解する確率は、およそ26%です。${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ だけを計算して、10通りの順番を忘れたくなりますが、それでは結果が本来の10分の1になってしまいます。

公式

同じ手順で、問題が何問でも、確率がいくつでもあつかえます。一般に、それぞれの問題を試行、正しい答えを成功といいます（このように同じ条件で独立にくり返す試行を反復試行といいます）。成功の回数を確率変数 X で表すと、二項分布はこの確率変数の確率分布です。公式だけを知りたいなら、n 回の試行のうちちょうど k 回成功する確率は、次のように計算します。

$$P(X=k)={}_n{\mathrm{C}}_k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

ここで p は1回の試行で成功する確率です。累乗 p^k は k 回の成功に、累乗 (1 − p)^{n − k} は残りの n − k 回の失敗に対応し、組合せの数 {}_nC_k は、それが何通りの順番で起こりうるかを表します。

このテストでは n = 5、k = 2、$p=\frac{1}{4}$ です。代入します。

$$P(X=2)={}_5{\mathrm{C}}_2\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

前と同じ結果になりました。公式は、じつは前の節の手順を短く書いたものにすぎないのです。

ただし、この公式が使えるのは、いくつかの条件を満たすときだけです。次の4つが成り立つ必要があります。

• 試行の回数 n があらかじめ決まっていること
• 試行がたがいに独立であること
• どの試行でも、成功する確率 p が同じであること
• どの試行の結果も、成功か失敗かの2通りしかないこと

テストの当てずっぽうは、4つの条件をすべて満たしています。しかし、いくつかの問題の答えを知っていたら、問題ごとに成功する確率がちがってしまい、公式は使えなくなります。

少なくとも

実際には、「ちょうど2問」より「少なくとも1問」が知りたいことがよくあります。当てずっぽうで少なくとも1問正解する確率はいくつでしょうか。P(X = 1)、P(X = 2)、……、P(X = 5) をすべて計算してたす方法もあります。もっと速いのは、余事象を使う方法です。「少なくとも1問正解」の余事象は「全問不正解」です。1問も正解しないのは、5問続けてまちがえる場合です。

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

この結果を1からひきます。

$$P(X\geqq 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

少なくとも1問正解する確率は、およそ76%です。望みがありそうに聞こえますが、5問中1問正解では、テストに合格できません。

テストに合格するには、少なくとも3問正解する必要があるとします。ここでは余事象は役に立ちません。余事象も0問、1問、2問正解の3つの場合をたすことになるからです。そこで、3つの場合を直接たします。まず、3問正解の場合です。

$$P(X=3)={}_5{\mathrm{C}}_3\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

4問正解の場合です。

$$P(X=4)={}_5{\mathrm{C}}_4\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

最後に、5問とも正解の場合です。

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

たします。

$$P(X\geqq 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\fallingdotseq 0.10$$

当てずっぽうでテストに合格する確率は、およそ10%です。やはり勉強したほうがよいのです。

同じ公式で $P(X=1)=\frac{405}{1024}$ も計算すると、6つの場合がすべてそろうので、グラフにかけます。各棒の上には分数の分子が書いてあり、分母はいつも1024です。破線より右の赤い棒は、テストに合格する場合です。

ここで、計算まちがいがないか確かめられます。正解の数は0問から5問のどれかにかならずなるので、すべての分子を合わせると1024になるはずです。

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

合っています。また、グラフから、いちばん起こりやすいのは1問正解の場合だとわかります。正解する問題数の期待値（平均）は $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1.25$ 問です。これは予想どおりの値で、5問の4分の1です。