余事象

ある事象の確率を計算するとき、余事象が役に立つことがあります。事象 A の余事象とは、起こりうる結果のうち、事象 A に含まれないものすべてからなる事象 $\bar{A}$ です。

定義

試行と事象の定義は、確率の記事で説明しています。簡単に復習すると、試行とはたとえばさいころをふることです。起こりうるすべての結果の集合（全事象）は、さいころなら U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} です。事象は U の部分集合で、たとえば「奇数の目が出た」、つまり A = {1, 3, 5} のようなものです。

事象 A として、引き続き「奇数の目が出た」、つまり A = {1, 3, 5} を考えると、その余事象は事象 $\bar{A}=U\setminus A$ です。これは残りすべての結果、つまり U には含まれるが A には含まれない結果からなります。この例では、事象「奇数の目が出た」の余事象は、事象「偶数の目が出た」です。事象「2か5の目が出る」の余事象は、事象「1、3、4、6のどれかの目が出る」です。

集合の言葉で言うと、U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} で、事象が A = {1, 2}（「3より小さい目が出る」）なら、$\bar{A}=U\setminus A=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$ です。言葉で言えば「2より大きい目が出る」です。

余事象の確率については、簡単な関係が成り立ちます。事象 A の確率が25%なら、事象 $\bar{A}$ の確率はいくつでしょうか。これは、事象 A が起こらない確率を求めることと同じです。事象 A は確率25%で起こるので、事象 A が起こらない確率は 100 − 25 = 75% です。これはいつも成り立つので、余事象 $\bar{A}$ は確率 1 − P(A) で起こる、といえます。

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$

例題

1. 2つのさいころをふるとき、6の目が2つそろわない確率はいくつでしょうか。確率の記事で、2つのさいころの目の出方は全部で36通りあることを計算しました。ここで、そのうち6の目が2つそろわないものがいくつあるかを数える方法もあります。しかし、逆から考えることもできます。6の目が2つそろう組がいくつあるかを数え、その事象の確率を計算して、それを1からひくのです。

   6の目が2つそろう組は (6, 6) の1つだけなので、この事象 A の確率は次のとおりです。

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   余事象 $\bar{A}$、つまり事象「6の目が2つそろわない」の確率は、次のようになります。

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=97.2222\dots \mathrm{\%}$$

2. 3つのさいころをふるとき、少なくとも1つは6の目が出る確率はいくつでしょうか。この問題も直接解くことができ、6の目が1つ、2つ、3つ出る順列をすべて書き出すこともできます。しかし、遠まわりのようでいて楽な方法として、余事象、つまり事象「6の目が1つも出ない」を計算することもできます。まず、目の出方が全部で何通りあるかを計算します。さいころは3つで、どのさいころでも1から6の目が出るので、全部で 6³ = 216 通りです。

   次に、6の目が1つも出ない場合を数えます。どのさいころでも1から5の目が出なければならないので、6の目を含まない場合は全部で 5³ = 125 通りです。あとは式に代入するだけです。

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57.87\mathrm{\%}$$

   これが事象 A、「6の目が1つも出ない」です。知りたいのは余事象「少なくとも1つは6の目が出る」なので、式に代入します。

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=42.1296\mathrm{\%}$$

3. 数学の試験で、学生が30問の中から3問を引きます。そのうち10問が代数、15問が解析、5問が幾何です。少なくとも2問が同じ分野になる確率はいくつでしょうか。この問題も、余事象を使って解くほうが簡単です。余事象は、「学生がそれぞれの分野から1問ずつ引く」という事象です。

   まず、学生が引ける3問の組が何通りあるかを計算します。それには組合せが必要です。全部で30問あり、そこから3問を引きますが、順番は関係ありません。組合せの数は次のとおりです。

   $${}_{30}{\mathrm{C}}_3=4060$$

   次に、学生がそれぞれの分野から1問ずつ引く場合は何通りあるでしょうか。積の法則から、全部で 10 · 15 · 5 = 750 通りです。最後に、確率の式に代入します。

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18.47\mathrm{\%}$$

   しかし、知りたいのは余事象なので、結果を1からひくだけです。

   $$P(\bar{A})=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81.53\mathrm{\%}$$