6/49くじ（スポルトカ）で当たる確率

チェコの数字選択式くじ「スポルトカ」で当たる確率は、どう計算すればよいでしょうか。当たる見込みを高めることはできるでしょうか。見てみましょう。スポルトカでは、箱の中に1から49までの49個の数字が入っていて、抽選でそこから6個の数字がでたらめに引かれます。くじを買う人は、この6個の数字を当てようとします。引かれた6個の数字をすべて当てる確率はいくつでしょうか。（日本のロト6も同じしくみですが、数字は43個です。）

まず、引かれる可能性のある組合せが全部でいくつあるかを計算しましょう。大切なのは、1回の抽選で同じ数字が2回引かれることはない、ということです。つまり、1, 2, 3, 4, 5, 5 のような数字が引かれることはありません。もう1つ大切なのは、数字が引かれる順番は関係ない、ということです。数字が 1, 2, 3, 4, 5, 6 の順に引かれても、別のときに 6, 5, 4, 3, 2, 1 の順に引かれても、同じ数字の組合せで、その数字を予想していればどちらでも当たりです。

つまり、順番が関係する順列は使えず、順番が関係しない組合せを使って計算します。49個から6個の数字を選ぶとき、異なる組合せがいくつあるかを考えます。これを組合せの記号で次のように書きます。

$${}_{49}{\mathrm{C}}_6$$

この組合せの数を計算する公式は、次のとおりです。

$${}_n{\mathrm{C}}_k=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

ここで、「!」は階乗を表す記号です。値を代入すると、次のようになります。

$${}_{49}{\mathrm{C}}_6=\frac{49!}{(49-6)!\cdot 6!}=\frac{49!}{43!\cdot 6!}$$

分子を書き出します。

$$\frac{49!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}$$

ここで、43! を約分できます。

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}$$

あとは実際に計算するだけです。

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}=\frac{10068347520}{720}$$

これは次の値に等しくなります。

$$\frac{10068347520}{720}=13983816$$

つまり、買うことのできる組合せは全部で13,983,816通り（1,400万近く）あります。

1等が当たる確率

1等は、引かれた6個の数字をすべて当てたときにもらえます。組合せは全部で13,983,816通りあるので、当たる見込みは13,983,816分の1で、確率は次のようになります。

$$\frac{1}{\mathrm{13,983,816}}\fallingdotseq 0.0000000715$$

パーセントで表すには、確率に100をかければよく、つまり小数点を右へ2けたずらして、0.00000715%です。これは、あまり大きな確率ではありません。たとえば、チェコには1,000万人を少しこえる人が住んでいます。チェコの全員が、ほかの人とちがう数字でスポルトカを1口ずつ買っても、まだだれも買っていない組合せが300万通りも残り、それでもだれも当たらない確率がおよそ5分の1あることになります。

スポルトカで当たる見込みを高めるには

方法はありません。できないのです。数字を引く人を買収でもしないかぎり、無理です。どの6個の組も、引かれる見込みは同じです。1, 2, 3, 4, 5, 6 の組が引かれる見込みは、5, 14, 15, 38, 41, 48 の組と同じです。箱は、1, 2, 3, 4, 5, 6 のようなきれいな数字の並びと、5, 14, 15, 38, 41, 48 のようなでたらめな並びを区別しません。連続した数字が好きなのは、人間だけです。同じように、箱は前に引かれた数字を覚えていません。先週 5, 14, 15, 38, 41, 48 が引かれたからといって、次の週にこの6個の組がもう一度引かれる確率は、少しも変わりません。

くじを買うときにできることは2つあります。1つ目は、ほかの人が選びそうな数字を選ばないことです。当たる見込みは変わりません。ある6個の組を1人が買っても100人が買っても、関係ないからです。しかし、もし当たったら、賞金を分け合う人数が少なくなります。いちばんよいのは、まったくでたらめに数字を選ぶことです。ほかの人が同じでたらめな6個の組を選ぶ見込みは小さいからです。逆に、たとえば前回の抽選で出た数字と同じ数字を買うと、ほかの人も同じ作戦をとっている見込みが大きく、もし当たっても賞金を分け合うことになりそうです。

2つ目の方法は、くじを買わずに、そのお金をもっと賢いことに使うことです。