ユーロジャックポットで当たる確率

ユーロジャックポットは、チェコのくじ「スポルトカ」に似た数字選択式のくじで、ヨーロッパのいくつかの国が参加しています。1等の賞金は最低1,000万ユーロが保証されていて、最高で1億2,000万ユーロになります。しくみはスポルトカに似ています。

しくみ

このくじでは、50個の数字から引かれる5個の数字を当て、さらに12個の数字から引かれる2個の追加の数字を当てます。引かれた7個の数字をすべて当てれば、1等のユーロジャックポットが当たります。当てた数字が少なくても、下位の等級の賞金がもらえます。ちなみに、2015年には、チェコでユーロジャックポットの1等が当たり、24億6,600万チェコ・コルナ（約9,000万ユーロ）という記録的な賞金になりました。

ユーロジャックポットで当たる確率

では、当たる見込みはどれくらいでしょうか。まず、引かれる可能性のある組合せが全部でいくつあるかを計算しましょう。同じ数字が2回引かれることはなく、数字が引かれる順番は関係ありません。つまり、計算には順列ではなく、組合せを使わなければなりません。50個の数字から引かれる5個の組がいくつあるかを考えます。これを組合せの記号で次のように書きます。

$${}_{50}{\mathrm{C}}_5$$

この組合せの数を計算する公式は、次のとおりです。

$${}_n{\mathrm{C}}_k=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

ここで、「!」は階乗を表す記号です。値を代入すると、次のようになります。

$${}_{50}{\mathrm{C}}_5=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

階乗の性質を使って、分子を書き出します。

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

分子にも分母にも 45! があります。そこで、分数全体を 45! で約分できます。

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

5! を書き出します。

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

すべてかけます。

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254251200}{120}$$

あとは割るだけです。

$$\frac{254251200}{120}=2118760$$

つまり、50個の異なる数字から引かれる5個の組は、全部で 2,118,760 通りあります。引かれた5個の組を当てる確率を P₁ とすると、その値はこの通り数の逆数です。

$$P_1=\frac{1}{2118760}$$

次に、追加の数字も当てる確率を計算するために、12個の数字から引ける2個の組がいくつあるかを計算します。これも組合せの記号で書けます。

$${}_{12}{\mathrm{C}}_2$$

今回は途中の計算を省き、組合せの数の計算ツールを使うと、次のようになります。

$${}_{12}{\mathrm{C}}_2=66$$

つまり、異なる2個の組は66通りあります。引かれた2個の組を当てる確率を P₂ とすると、次のようになります。

$$P_2=\frac{1}{66}$$

ユーロジャックポットの1等が当たる確率 P は、この2つの確率をかけて求めます。

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2118760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139838160}$$

ユーロジャックポットの1等が当たる見込みは、139,838,160分の1です。たとえば、チェコには1,000万人を少しこえる人が住んでいます。チェコのだれかがかならず当たるようにするには、チェコの全員が、ほかの人とちがう番号のくじを13口ずつ買う必要があります。そうすれば、抽選のあと、チェコで買われたくじの1枚がかならず当たりになります。