条件付き確率

確率を計算するとき、試行に条件を追加することができます。条件付き確率の典型的な問題には、たとえば次のようなものがあります。3つのさいころをふります。さいころの1つで3の目が出たとき、目の合計が7になる確率はいくつでしょうか。

公式の導き方

ある試行（たとえば、さいころをふること）と、P(B) ≠ 0、つまり事象 B が空事象でないような2つの異なる事象 A と B を考えます。事象 B が起こったときに事象 A が起こる確率を条件付き確率といい、P(A|B) で表します（日本の高校の教科書では P_B(A) と書きます）。

条件付き確率を計算する公式に、少しずつたどり着いてみましょう。簡単にするために、正四面体のさいころ、つまり1、2、3、4の目しか出ないさいころを考えます。次の問題を解いてみましょう。正四面体のさいころを2つふるとき、少なくとも一方のさいころで3より小さい目が出たとすると、目の合計が6になる確率はいくつでしょうか。

まず、正四面体のさいころ2つで出る目の組をすべて書き出します。全部で 4 · 4 = 16 通りです。

$$\begin{array}{rcl}& & (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ & & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\end{array}$$

事象 A と B はどうなっているでしょうか。事象 A は「さいころの目の合計が6である」、事象 B は「少なくとも一方のさいころで3より小さい目が出た」です。知りたいのは条件付き確率 P(A|B)、つまり事象 B が起こったとわかっているときに事象 A が起こる確率です。まず、前の表から、事象 B にも含まれる組、つまり少なくとも一方の数が3より小さい組だけを取り出します。次のようになります。

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),\\ & & (4,1),(4,2)\end{array}$$

これは、いわば全事象と考えることができます。実際には2つのさいころで4の目が2つ出ることもありますが、条件 B をつけることで、そのような結果は考えない、と言っているのです。考えるのは、少なくとも一方のさいころで3より小さい目が出た結果だけです。

あとは、全事象が集合 B であるとき、事象 A が起こる確率はいくつかを考えるだけです。条件付き確率が表しているのは、このことにほかなりません。そこで、この集合 B の中から、合計が6になる組を探します。

$$(2,4),(4,2)$$

確率はどう計算すればよいでしょうか。求める結果は全部で2通りで、全事象は集合 B なので、その要素の個数は12です。したがって、条件付き確率は次のようになります。

$$P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

では、これをどう一般化すればよいでしょうか。全事象を集合 B と考えればよい、と述べました。では、求める結果の集合はどうなるでしょうか。A に含まれ（これが知りたい事象です）、しかも B にも含まれる（これが制限を加える条件です）結果の集合です。たとえば、正四面体のさいころ2つで合計が6になる場合は、もう1つあります。2つとも3の目が出る場合です。しかし、この例では、この結果は条件 B（少なくとも一方の数が3より小さい）を満たしません。そのため、この結果は求める結果に含めません。したがって、求める結果の集合は、2つの事象の共通部分 A ∩ B に等しくなります。これらをまとめると、次の公式が得られます。

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

この公式を見ると、なぜ P(B) ≠ 0 と仮定したのかがわかります。この条件が満たされないと、0で割ることになり、ブラックホールができてしまうかもしれません。

前の公式は、すべての根元事象が同様に確からしいとき、つまり確率の古典的な定義を使う場合に成り立ちます。この公式は、もっと一般的な形に書きかえられます。

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

例題

1. 黒と白の2つのさいころをふります。目の合計が7のとき、白いさいころで4の目が出ている確率はいくつでしょうか。整理しましょう。事象A：「白いさいころで4の目が出た」、事象B（条件）：「合計が7である」。事象 B は、合計が7になるすべての目の組を含みます。つまり、B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} です。次に、A ∩ B、つまり B の組のうち A にも含まれるもの、言いかえると白いさいころで4の目が出ているものを求めます。目は (黒, 白) の形で書くとすると、A ∩ B に属する組は (3, 4) だけです。あとは式に代入するだけです。

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$