Απόσταση σημείου από επίπεδο

Η απόσταση σημείου από επίπεδο είναι ίση με το μήκος του «συντομότερου» τμήματος που φέρνουμε από αυτό το σημείο προς το δοσμένο επίπεδο.

Εκφώνηση

Έχουμε ένα επίπεδο που δίνεται από τη γενική εξίσωση r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 και ένα σημείο X(5, 7, 2). Θέλουμε να βρούμε ποια είναι η απόσταση του σημείου X από το επίπεδο r. Στο σχήμα θα το σχεδιάζαμε ως εξής:

Στο σχήμα έχουμε ένα επίπεδο ABCD και ένα σημείο X. Το μήκος του τμήματος XF καθορίζει τότε την απόσταση του σημείου X από το επίπεδο. Αυτό το τμήμα είναι πάλι κάθετο στο επίπεδο, άρα είναι η συντομότερη απόσταση του σημείου από το επίπεδο. (Το σχήμα δεν δείχνει το επίπεδο r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 ούτε το σημείο X(5, 7, 2), αλλά μόνο γενικά την απόσταση σημείου από επίπεδο.)

Λύση με τύπο

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πρακτικά τον ίδιο τύπο όπως όταν υπολογίζαμε την απόσταση σημείου από ευθεία, μόνο που προσθέτουμε ακόμα μία διάσταση. Η απόσταση του σημείου X(x₁, x₂, x₃) από το επίπεδο r: ax + by + cz + d = 0 υπολογίζεται λοιπόν ως

$$\delta (X,r)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Για το επίπεδο r και το σημείο X(5, 7, 2) της εκφώνησης αντικαθιστούμε a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 και x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2:

$$\begin{array}{rcl}\delta (X,r)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$