Abstand eines Punktes von einer Ebene

Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist gleich der Länge der „kürzesten“ Strecke, die von diesem Punkt zur gegebenen Ebene führt.

Aufgabe

Gegeben sind die Ebene E: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 in Koordinatenform und der Punkt X(5 ∣ 7 ∣ 2). Wir fragen, wie groß der Abstand des Punktes X von der Ebene E ist. In einer Abbildung würden wir es so zeichnen:

In der Abbildung sehen wir eine Ebene ABCD und einen Punkt X. Die Länge der Strecke XF bestimmt dann den Abstand des Punktes X von der Ebene. Diese Strecke steht wieder senkrecht auf der Ebene, sie ist also der kürzeste Abstand des Punktes zur Ebene. (Die Abbildung zeigt nicht die Ebene E: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 und auch nicht den Punkt X(5 ∣ 7 ∣ 2), sondern nur allgemein den Abstand eines Punktes von einer Ebene.)

Lösung mit der Formel

Wir können praktisch dieselbe Formel verwenden wie bei der Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Geraden, wir fügen nur noch eine Dimension hinzu. Den Abstand des Punktes X(x₁ ∣ x₂ ∣ x₃) von der Ebene E: ax + by + cz + d = 0 berechnen wir also als

$$d(X;E)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Für die Ebene E und den Punkt X(5 ∣ 7 ∣ 2) aus der Aufgabe setzen wir a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 und x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2 ein:

$$\begin{array}{rcl}d(X;E)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$