Avstanden fra et punkt til et plan

Avstanden fra et punkt til et plan er lik lengden av det «korteste» linjestykket fra punktet til det gitte planet.

Oppgaven

Vi har et plan gitt ved likningen r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 og et punkt X(5, 7, 2). Vi spør hva avstanden fra punktet X til planet r er. På figuren ville vi tegnet det slik:

På figuren har vi et plan ABCD og et punkt X. Lengden av linjestykket XF er da avstanden fra punktet X til planet. Dette linjestykket står igjen vinkelrett på planet, og det er derfor den korteste avstanden fra punktet til planet. (Figuren viser ikke planet r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 eller punktet X(5, 7, 2), bare avstanden fra et punkt til et plan generelt.)

Løsning med formel

Vi kan bruke praktisk talt den samme formelen som da vi regnet ut avstanden fra et punkt til en linje, vi legger bare til en dimensjon til. Avstanden fra punktet X(x₁, x₂, x₃) til planet r: ax + by + cz + d = 0 regner vi altså ut som

$$d(X,r)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

For planet r og punktet X(5, 7, 2) fra oppgaven setter vi inn a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 og x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2:

$$\begin{array}{rcl}d(X,r)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$