Distância de um ponto a um plano

A distância de um ponto a um plano é igual ao comprimento do “menor” segmento traçado desse ponto até o plano dado.

Enunciado

Temos um plano dado pela equação geral π: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 e um ponto X(5, 7, 2). Perguntamos qual é a distância do ponto X ao plano π. Na figura, desenharíamos assim:

Na figura temos um plano ABCD e um ponto X. O comprimento do segmento XF determina, então, a distância do ponto X ao plano. Esse segmento é, de novo, perpendicular ao plano, e é, assim, a menor distância do ponto ao plano. (A figura não mostra o plano π: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 nem o ponto X(5, 7, 2), apenas a distância de um ponto a um plano em geral.)

Resolução pela fórmula

Podemos usar praticamente a mesma fórmula de quando calculamos a distância de um ponto a uma reta, apenas acrescentando mais uma dimensão. Assim, a distância do ponto X(x₁, x₂, x₃) ao plano π: ax + by + cz + d = 0 é calculada como

$$d(X,\pi )=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Para o plano π e o ponto X(5, 7, 2) do enunciado, substituímos a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 e x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2:

$$\begin{array}{rcl}d(X,\pi )& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$