Разстояние от точка до равнина

Разстоянието от точка до равнина е равно на дължината на „най-късата“ отсечка, прекарана от тази точка до дадената равнина.

Условие

Имаме равнина, зададена с общо уравнение r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0, и точка X(5; 7; 2). Питаме се какво е разстоянието от точката X до равнината r. На чертежа бихме го нанесли така:

На чертежа имаме някаква равнина ABCD и точка X. Дължината на отсечката XF определя разстоянието от точката X до равнината. Тази отсечка отново е перпендикулярна на равнината, затова дава най-късото разстояние от точката до равнината. (Чертежът не показва равнината r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0, нито точката X(5; 7; 2), а само разстояние от точка до равнина в общия случай.)

Решение с формула

Можем да използваме практически същата формула, както когато пресмятахме разстоянието от точка до права, като просто добавим още едно измерение. Така разстоянието от точката X(x₁; x₂; x₃) до равнината r: ax + by + cz + d = 0 пресмятаме като

$$d(X,r)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

За равнината r и точката X(5; 7; 2) от условието заместваме a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 и x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2:

$$\begin{array}{rcl}d(X,r)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$