Avstånd från en punkt till ett plan

Avståndet från en punkt till ett plan är lika med längden av den ”kortaste” sträckan från punkten till planet.

Uppgiften

Vi har ett plan givet på allmän form r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 och en punkt X(5, 7, 2). Vi undrar hur långt det är från punkten X till planet r. I en figur skulle vi rita det så här:

I figuren har vi ett plan ABCD och en punkt X. Längden av sträckan XF anger avståndet från punkten till planet. Även här är sträckan vinkelrät mot planet, och det är därför det kortaste avståndet från punkten till planet. (Figuren visar inte planet r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 eller punkten X(5, 7, 2), utan bara avståndet från en punkt till ett plan i allmänhet.)

Lösning med formel

Vi kan använda i princip samma formel som när vi beräknade avståndet från en punkt till en linje, vi lägger bara till ytterligare en dimension. Avståndet från punkten X(x₁, x₂, x₃) till planet r: ax + by + cz + d = 0 beräknar vi alltså som

$$d(X,r)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

För planet r och punkten X(5, 7, 2) i uppgiften sätter vi in a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 och x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2:

$$\begin{array}{rcl}d(X,r)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$