Distanța de la un punct la un plan

Distanța de la un punct la un plan este egală cu lungimea celui „mai scurt” segment dus de la acest punct la planul dat.

Enunț

Avem planul dat de ecuația generală r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 și punctul X(5, 7, 2). Ne întrebăm care este distanța de la punctul X la planul r. Într-o figură am reprezenta situația astfel:

În figură avem un plan oarecare ABCD și punctul X. Lungimea segmentului XF determină atunci distanța de la punctul X la plan. Acest segment este din nou perpendicular pe plan, deci este cea mai scurtă distanță de la punct la plan. (Figura nu arată planul r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0, nici punctul X(5, 7, 2), ci doar în general distanța de la un punct la un plan.)

Rezolvare cu formula

Putem folosi practic aceeași formulă ca atunci când am calculat distanța de la un punct la o dreaptă, adăugând doar o dimensiune. Distanța de la punctul X(x₁, x₂, x₃) la planul r: ax + by + cz + d = 0 o calculăm deci ca

$$d(X,r)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Pentru planul r și punctul X(5, 7, 2) din enunț înlocuim a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 și x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2:

$$\begin{array}{rcl}d(X,r)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$