Afstand fra et punkt til en plan

Afstanden fra et punkt til en plan er lig med længden af det »korteste« linjestykke, som går fra punktet til den givne plan.

Opgaven

Vi har en plan givet ved ligningen r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 og et punkt X(5, 7, 2). Vi spørger, hvad afstanden er fra punktet X til planen r. På en figur ville vi tegne det sådan her:

På figuren har vi en plan ABCD og et punkt X. Længden af linjestykket XF bestemmer så afstanden fra punktet X til planen. Dette linjestykke er igen vinkelret på planen, det er altså den korteste afstand fra punktet til planen. (Figuren viser ikke planen r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 og heller ikke punktet X(5, 7, 2), kun generelt afstanden fra et punkt til en plan.)

Løsning ved hjælp af en formel

Vi kan bruge stort set den samme formel, som da vi beregnede afstanden fra et punkt til en linje, vi tilføjer bare endnu en dimension. Afstanden fra punktet X(x₁, x₂, x₃) til planen r: ax + by + cz + d = 0 beregner vi altså som

$$\mathrm{dist}(X,r)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

For planen r og punktet X(5, 7, 2) fra opgaven indsætter vi a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 og x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{dist}(X,r)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$