Distance d’un point à un plan

La distance d’un point à un plan est égale à la longueur du segment « le plus court » issu de ce point et menant au plan donné.

Énoncé

On considère le plan d’équation cartésienne P: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 et le point X(5 ; 7 ; 2). On se demande quelle est la distance du point X au plan P. Dessinée, la situation donne la figure suivante :

Sur la figure, on a un plan ABCD et un point X. La longueur du segment XF donne alors la distance du point X au plan. Ce segment est, là encore, perpendiculaire au plan : c’est bien la plus courte distance du point au plan. (La figure ne montre ni le plan P: 3x + 1y − 2z + 4 = 0, ni le point X(5 ; 7 ; 2), seulement la distance générale d’un point à un plan.)

Solution à l’aide de la formule

On peut utiliser pratiquement la même formule que pour la distance d’un point à une droite, en ajoutant simplement une dimension. La distance du point X(x₁ ; x₂ ; x₃) au plan P: ax + by + cz + d = 0 se calcule donc ainsi :

$$d(X,P)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Pour le plan P et le point X(5 ; 7 ; 2) de l’énoncé, on substitue a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 et x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2 :

$$\begin{array}{rcl}d(X,P)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$