Pisteen etäisyys tasosta

Pisteen etäisyys tasosta on yhtä suuri kuin sen ”lyhimmän” janan pituus, joka vedetään tästä pisteestä annettuun tasoon.

Tehtävänanto

Meillä on taso, joka on annettu yleisellä yhtälöllä r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0, ja piste X = (5, 7, 2). Kysymme, mikä on pisteen X etäisyys tasosta r. Kuvaan se piirrettäisiin näin:

Kuvassa on jokin taso ABCD ja piste X. Janan XF pituus määrää pisteen X etäisyyden tasosta. Tämä jana on jälleen kohtisuorassa tasoa vastaan, joten se on pisteen lyhin etäisyys tasosta. (Kuva ei esitä tasoa r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 eikä pistettä X = (5, 7, 2), vaan yleisesti pisteen etäisyyttä tasosta.)

Ratkaisu kaavalla

Voimme käyttää käytännössä samaa kaavaa kuin laskiessamme pisteen etäisyyden suorasta, lisäämme vain yhden ulottuvuuden. Pisteen X = (x₁, x₂, x₃) ja tason r: ax + by + cz + d = 0 etäisyys lasketaan siis näin:

$$d(X,r)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Tehtävänannon tasolle r ja pisteelle X = (5, 7, 2) sijoitetaan a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 ja x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2:

$$\begin{array}{rcl}d(X,r)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$