Bir Noktanın Düzleme Uzaklığı

Bir noktanın bir düzleme uzaklığı, o noktadan düzleme çizilen “en kısa” doğru parçasının uzunluğuna eşittir.

Verilenler

Genel denklemi r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 olan bir düzlem ve X(5, 7, 2) noktası var. X noktasının r düzlemine uzaklığı kaçtır? Bunu şekle şöyle çizebiliriz:

Şekilde herhangi bir ABCD düzlemi ve bir X noktası görüyoruz. XF doğru parçasının uzunluğu, X noktasının düzleme uzaklığını verir. Bu doğru parçası yine düzleme diktir; noktanın düzleme en kısa uzaklığı budur. (Şekil r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 düzlemini ya da X(5, 7, 2) noktasını değil, yalnızca bir noktanın bir düzleme uzaklığını genel olarak gösteriyor.)

Formülle Çözüm

Bir noktanın bir doğruya uzaklığını hesaplarken kullandığımız formülün neredeyse aynısını kullanabiliriz, yalnızca bir boyut daha ekleriz. Yani X(x₁, x₂, x₃) noktasının r: ax + by + cz + d = 0 düzlemine uzaklığını, yani X noktasından düzleme inilen dikmenin ayağı F olmak üzere |XF| uzunluğunu şöyle hesaplarız:

$$|XF|=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Verilenlerdeki r düzlemi ve X(5, 7, 2) noktası için a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 ve x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2 değerlerini yerine yazarız:

$$\begin{array}{rcl}|XF|& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$