Distancia de un punto a un plano

La distancia de un punto a un plano es igual a la longitud del segmento «más corto» trazado desde ese punto hasta el plano dado.

Enunciado

Tenemos un plano dado por la ecuación general π: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 y un punto X(5, 7, 2). Nos preguntamos cuál es la distancia del punto X al plano π. En la figura lo dibujaríamos así:

En la figura tenemos un plano ABCD y un punto X. La longitud del segmento XF determina la distancia del punto X al plano. Este segmento es de nuevo perpendicular al plano, por lo que es la distancia más corta del punto al plano. (La figura no muestra el plano π: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 ni el punto X(5, 7, 2), solo la distancia de un punto a un plano en general.)

Resolución con la fórmula

Podemos usar prácticamente la misma fórmula que cuando calculamos la distancia de un punto a una recta, solo que añadimos una dimensión más. Así, la distancia del punto X(x₁, x₂, x₃) al plano π: ax + by + cz + d = 0 la calculamos como

$$d(X,\pi )=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Para el plano π y el punto X(5, 7, 2) del enunciado sustituimos a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 y x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2:

$$\begin{array}{rcl}d(X,\pi )& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$