Pont és sík távolsága

Egy pont és egy sík távolsága egyenlő annak a „legrövidebb” szakasznak a hosszával, amely ettől a ponttól a megadott síkhoz vezet.

Feladat

Adott az r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 általános egyenletű sík és az X(5; 7; 2) pont. Azt kérdezzük, mekkora az X pont távolsága az r síktól. Az ábrán így rajzolnánk meg:

Az ábrán adott egy ABCD sík és egy X pont. Az XF szakasz hossza adja meg az X pont távolságát a síktól. Ez a szakasz ismét merőleges a síkra, ezért ez a pont és a sík legrövidebb távolsága. (Az ábra nem az r: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 síkot és az X(5; 7; 2) pontot mutatja, csak általánosan egy pont és egy sík távolságát.)

Megoldás képlettel

Gyakorlatilag ugyanazt a képletet használhatjuk, mint amikor a pont és egyenes távolságát számítottuk, csak még egy dimenziót hozzáadunk. Az X(x₁; x₂; x₃) pont és az r: ax + by + cz + d = 0 sík távolságát tehát így számítjuk ki:

$$t(X,r)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

A feladatbeli r sík és X(5; 7; 2) pont esetén az a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 és x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2 értékeket helyettesítjük be:

$$\begin{array}{rcl}t(X,r)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$