Afstand van een punt tot een vlak

De afstand van een punt tot een vlak is gelijk aan de lengte van het “kortste” lijnstuk van dit punt naar het gegeven vlak.

Opgave

We hebben een vlak dat gegeven is door de algemene vergelijking r: 3x + y − 2z = −4 en een punt X(5, 7, 2). We vragen ons af wat de afstand van punt X tot vlak r is. In een tekening zouden we het zo zetten:

In de tekening hebben we een vlak ABCD en een punt X. De lengte van lijnstuk XF bepaalt dan de afstand van punt X tot het vlak. Dit lijnstuk staat weer loodrecht op het vlak, het is dus de kortste afstand van het punt tot het vlak. (De tekening toont niet het vlak r: 3x + y − 2z = −4, noch het punt X(5, 7, 2), alleen in het algemeen de afstand van een punt tot een vlak.)

Oplossing met een formule

We kunnen vrijwel dezelfde formule gebruiken als toen we de afstand van een punt tot een lijn berekenden, alleen voegen we nog een dimensie toe. De afstand van het punt X(x₁, x₂, x₃) tot het vlak r: ax + by + cz = e berekenen we dus als

$$d(X,r)=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3-e|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Voor het vlak r en het punt X(5, 7, 2) uit de opgave vullen we a = 3, b = 1, c = −2, e = −4 en x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2 in:

$$\begin{array}{rcl}d(X,r)& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2-(-4)|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$