Distanza di un punto da un piano

La distanza di un punto da un piano è uguale alla lunghezza del segmento «più corto» condotto da quel punto al piano dato.

Dati

Abbiamo un piano dato dall’equazione cartesiana π: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 e un punto X(5; 7; 2). Ci chiediamo qual è la distanza del punto X dal piano π. In figura sarebbe rappresentata così:

In figura abbiamo un piano ABCD e un punto X. La lunghezza del segmento XF determina la distanza del punto X dal piano. Anche questo segmento è perpendicolare al piano ed è quindi la distanza minima del punto dal piano. (La figura non mostra il piano π: 3x + 1y − 2z + 4 = 0 né il punto X(5; 7; 2), ma solo in generale la distanza di un punto da un piano.)

Risoluzione con la formula

Possiamo usare praticamente la stessa formula del calcolo della distanza di un punto da una retta, aggiungendo soltanto una dimensione. La distanza del punto X(x₁; x₂; x₃) dal piano π: ax + by + cz + d = 0 si calcola quindi come

$$d(X,\pi )=\frac{|a\cdot x_1+b\cdot x_2+c\cdot x_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Per il piano π e il punto X(5; 7; 2) dei dati sostituiamo a = 3, b = 1, c = −2, d = 4 e x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2:

$$\begin{array}{rcl}d(X,\pi )& =& \frac{|3\cdot 5+1\cdot 7-2\cdot 2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}\\ & =& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx \mathrm{5,880}\end{array}$$