Ebenengleichung

Eine Ebene können wir, genau wie eine Gerade, auf mehrere Arten beschreiben. Wir beginnen mit der einfachsten, der Parameterform der Ebene.

Parameterform der Ebene

Erinnern wir uns zuerst daran, wie wir die Parameterform der Geraden p bestimmt haben. Wir haben einen Punkt A gewählt, durch den die Gerade p verlief, und dann den Richtungsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Wenn wir zum Punkt A ein λ-Faches des Richtungsvektors addiert haben, haben wir einen Punkt der Geraden p erhalten. Für jeden Punkt X, der auf der Geraden liegt, haben wir so die Gleichung erhalten:

$$X=A+\lambda \cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},\lambda \in \mathbb{R}.$$

Mit einer ähnlichen Überlegung können wir zur Gleichung der Ebene gelangen. Zur Beschreibung einer Ebene brauchen wir zwei verschiedene, vom Nullvektor verschiedene Vektoren, die nicht kollinear sind, d. h. die nicht parallel sind, und natürlich einen Punkt A, durch den diese Ebene verläuft. Die Vektoren dürfen nicht kollinear sein, damit sie nicht auf einer Geraden liegen. Eine Gerade bestimmt die Ebene nicht, eine Gerade kann in unendlich vielen Ebenen enthalten sein.

Wir können es auch anders angehen – eine Gerade können wir durch zwei verschiedene Punkte A, B festlegen. Durch diese Punkte verlaufen allerdings unendlich viele Ebenen – fügen wir aber noch einen Punkt C hinzu, der nicht auf der Geraden AB liegt, dann ist die Ebene eindeutig bestimmt.

Haben wir also drei verschiedene Punkte A, B, C, können wir zwei verschiedene Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$ konstruieren. Diese zwei Vektoren und zum Beispiel der Punkt A legen die Ebene fest. Erinnern wir uns an die Addition von Vektoren:

Wir sehen, dass wir durch die Summe zweier Vektoren einen Vektor erhalten können, dessen Koordinaten „zwischen“ diesen beiden Vektoren liegen. Durch fortgesetztes Addieren verschiedener Vielfacher der Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ können wir dann die ganze Ebene ausfüllen. So können wir die Parameterform der Ebene aufschreiben, die durch die Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ bestimmt ist und durch den Punkt A verläuft:

$$X=A+\lambda \cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}+\mu \cdot \overrightarrow{\mathbf{v}},\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$$

wobei X ein Punkt der Ebene ist. Für jeden Punkt der Ebene finden wir λ und μ so, dass die Gleichung gilt. Diese Gleichung können wir noch in ein Gleichungssystem ausschreiben. Dabei seien X(x ∣ y ∣ z), A(a₁ ∣ a₂ ∣ a₃), $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+\lambda \cdot u_1+\mu \cdot v_1\\ y& =& a_2+\lambda \cdot u_2+\mu \cdot v_2\\ z& =& a_3+\lambda \cdot u_3+\mu \cdot v_3\end{array}$$

Beispiel

Prüfe, ob der Punkt Q(0 ∣ 3 ∣ 5) in der Ebene liegt, die durch die Punkte A(2 ∣ 3 ∣ 4), B(3 ∣ 7 ∣ −1), C(−5 ∣ 4 ∣ 4) bestimmt ist.

Zuerst stellen wir die Gleichung der Ebene auf. Wir bestimmen die Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, wobei $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Es gilt also:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}& =& B-A=(3\mid 7\mid -1)-(2\mid 3\mid 4)=(1\mid 4\mid -5)\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& =& C-A=(-5\mid 4\mid 4)-(2\mid 3\mid 4)=(-7\mid 1\mid 0)\end{array}$$

Die Ebene verläuft durch den Punkt A, also schreiben wir das Gleichungssystem auf:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+\lambda \cdot 1-\mu \cdot 7\\ y& =& 3+\lambda \cdot 4+\mu \cdot 1\\ z& =& 4-\lambda \cdot 5+\mu \cdot 0\end{array}$$

Nun finden wir heraus, ob der Punkt Q(0 ∣ 3 ∣ 5) in dieser Ebene liegt. Dazu setzen wir für x,y,z genau die Zahlen 0, 3, 5 ein und lösen das Gleichungssystem. Wir erhalten also das System:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+\lambda \cdot 1-\mu \cdot 7\\ 3& =& 3+\lambda \cdot 4+\mu \cdot 1\\ 5& =& 4-\lambda \cdot 5+\mu \cdot 0\end{array}$$

Aus der letzten Gleichung können wir λ berechnen:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-\lambda \cdot 5+\mu \cdot 0\\ 5& =& 4-\lambda \cdot 5\\ 1& =& -\lambda \cdot 5\\ \lambda \cdot 5& =& -1\\ \lambda & =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

Wir setzen λ in die zweite Gleichung ein:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+\lambda \cdot 4+\mu \cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+\mu \cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+\mu \cdot 1\\ \mu & =& \frac{4}{5}\end{array}$$

Und schließlich setzen wir die Werte von λ und μ in die erste Gleichung ein, um herauszufinden, ob die Gleichung gilt:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+\lambda \cdot 1-\mu \cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

Die Gleichung gilt nicht, das ganze System hat also keine Lösung, der Punkt Q(0 ∣ 3 ∣ 5) ist kein Punkt der Ebene.