Planets ekvation

Ett plan kan, precis som en linje, uttryckas på flera sätt. Vi börjar med det enklaste, planets parameterframställning.

Planets parameterframställning

Först påminner vi oss om hur vi bestämde parameterframställningen för en linje p. Vi valde en punkt A som linjen p går genom och sedan en riktningsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Om vi till punkten A adderade riktningsvektorn multiplicerad med något tal t, fick vi en punkt på linjen p. För varje punkt X som ligger på linjen fick vi alltså ekvationen

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Med liknande resonemang kommer vi fram till planets ekvation. För att beskriva ett plan behöver vi två olika vektorer som inte är nollvektorer och som inte är parallella (kolinjära), och förstås en punkt A som planet går genom. Vektorerna får inte vara parallella, eftersom de då skulle ligga på samma linje. En enda linje bestämmer inte ett plan, eftersom en linje finns i oändligt många plan.

Vi kan också gå tillväga på ett annat sätt — en linje kan bestämmas av två olika punkter A, B. Genom dessa punkter går dock oändligt många plan — men om vi lägger till ännu en punkt C som inte ligger på linjen AB, så har vi entydigt bestämt ett plan.

Om vi alltså har tre olika punkter A, B, C kan vi bilda två olika vektorer $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Dessa två vektorer och till exempel punkten A bestämmer planet. Vi påminner oss om addition av vektorer:

Vi ser att summan av två vektorer ger en vektor vars koordinater ligger ”mellan” de två vektorerna. Genom att steg för steg addera olika multipler av vektorerna $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ kan vi fylla hela planet. Då kan vi skriva parameterframställningen för det plan som bestäms av vektorerna $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ och som går genom punkten A:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}+s\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}},t,s\in \mathbb{R}$$

där X är någon punkt i planet. För varje punkt i planet kan vi hitta sådana t och s att ekvationen gäller. Vi kan dessutom skriva om ekvationen som ett ekvationssystem. Vi antar att X(x, y, z), A(a₁, a₂, a₃), $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2,u_3)$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2,v_3)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Exempel

Avgör om punkten Q(0, 3, 5) ligger i det plan som bestäms av punkterna A(2, 3, 4), B(3, 7, −1), C(−5, 4, 4).

Först ställer vi upp planets ekvation. Vi bestämmer vektorerna $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, där $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ och $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Då gäller:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}& =& B-A=(3,7,-1)-(2,3,4)=(1,4,-5)\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& =& C-A=(-5,4,4)-(2,3,4)=(-7,1,0)\end{array}$$

Planet går genom punkten A, så vi skriver upp ekvationssystemet:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Nu undersöker vi om punkten Q(0, 3, 5) ligger i planet. Det gör vi genom att sätta in talen 0, 3, 5 för x,y,z och lösa ekvationssystemet. Vi får systemet:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Ur den sista ekvationen kan vi lösa ut t:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

Vi sätter in t i den andra ekvationen:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

Till sist sätter vi in värdena på t och s i den första ekvationen för att se om den stämmer:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

Ekvationen stämmer inte, så hela systemet saknar lösning och punkten Q(0, 3, 5) ligger inte i planet.