Ecuación del plano

Un plano, igual que una recta, se puede expresar de varias maneras. Empezaremos por la más sencilla, las ecuaciones paramétricas del plano.

Ecuaciones paramétricas del plano

Recordemos primero cómo determinábamos las ecuaciones paramétricas de la recta p. Elegíamos un punto A por el que pasaba la recta p y después un vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Si al punto A le sumábamos el producto de t por el vector director, obteníamos un punto de la recta p. Para cada punto X que está en la recta obteníamos así la ecuación

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Con un razonamiento parecido podemos llegar a la ecuación del plano. Para describir un plano necesitamos dos vectores distintos y no nulos que no sean proporcionales, es decir, que no sean paralelos, y por supuesto un punto A por el que pasa el plano. Los vectores no pueden ser proporcionales para que no estén en una misma recta. Una sola recta no nos determina el plano: una recta puede estar contenida en infinitos planos.

Podemos verlo también de otra manera: una recta la podemos determinar mediante dos puntos distintos A, B. Sin embargo, por estos puntos pasan infinitos planos; pero si a estos puntos añadimos un punto más C, que no está en la recta AB, ya definimos el plano de forma única.

Así, si tenemos tres puntos distintos A, B, C, podemos construir dos vectores distintos $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Estos dos vectores y, por ejemplo, el punto A nos definen el plano. Recordemos la suma de vectores:

Vemos que mediante la suma de dos vectores podemos obtener un vector cuyas coordenadas están «entre» los dos vectores. Sumando sucesivamente distintos múltiplos de los vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ podemos llenar todo el plano. Así podemos escribir las ecuaciones paramétricas del plano que está determinado por los vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ y que pasa por el punto A:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}+s\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}},t,s\in \mathbb{R}$$

donde X es un punto del plano. Para cada punto del plano podemos encontrar t y s tales que la ecuación se cumpla. Esta ecuación todavía se puede desarrollar en un sistema de ecuaciones. Suponemos que X(x, y, z), A(a₁, a₂, a₃), $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2,u_3)$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2,v_3)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Ejemplo

Averigua si el punto Q(0, 3, 5) pertenece al plano determinado por los puntos A(2, 3, 4), B(3, 7, −1), C(−5, 4, 4).

Primero planteamos la ecuación del plano. Determinamos los vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, con $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Se cumplirá:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}& =& B-A=(3,7,-1)-(2,3,4)=(1,4,-5)\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& =& C-A=(-5,4,4)-(2,3,4)=(-7,1,0)\end{array}$$

El plano pasa por el punto A, así que escribimos el sistema de ecuaciones:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Ahora averiguamos si este plano pasa por el punto Q(0, 3, 5). Lo hacemos sustituyendo x,y,z precisamente por los números 0, 3, 5 y resolviendo el sistema de ecuaciones. Obtenemos el sistema:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

De la última ecuación podemos despejar t:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

Sustituimos t en la segunda ecuación:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

Y por último sustituimos los valores de t y s en la primera ecuación para ver si se cumple:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

La ecuación no se cumple, así que el sistema entero no tiene solución y el punto Q(0, 3, 5) no pertenece al plano.