Ecuația planului

Planul, la fel ca dreapta, îl putem exprima în mai multe moduri. Începem cu cel mai simplu, ecuațiile parametrice ale planului.

Ecuațiile parametrice ale planului

Să ne amintim mai întâi cum am determinat ecuațiile parametrice ale dreptei p. Am ales un punct A prin care trecea dreapta p și apoi vectorul director $\overrightarrow{u}$. Dacă la punctul A adunam un multiplu $t\cdot \overrightarrow{u}$ al vectorului director, obțineam un punct al dreptei p. Pentru fiecare punct X care se află pe dreaptă am obținut astfel ecuația

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

Printr-un raționament asemănător putem ajunge la ecuația planului. Pentru a descrie un plan avem nevoie de doi vectori nenuli distincți care nu sunt coliniari, adică care nu sunt paraleli, și, bineînțeles, de un punct A prin care trece acest plan. Vectorii nu au voie să fie coliniari ca să nu se afle pe aceeași dreaptă. O singură dreaptă nu determină planul, o dreaptă poate fi conținută într-o infinitate de plane.

Putem proceda și altfel – dreapta o putem determina cu ajutorul a două puncte distincte A, B. Prin aceste puncte trece însă o infinitate de plane – dar dacă adăugăm la aceste puncte încă un punct C, care nu se află pe dreapta AB, atunci definim planul în mod unic.

Dacă avem deci trei puncte distincte A, B, C, putem construi doi vectori diferiți $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$. Acești doi vectori și, de exemplu, punctul A ne definesc planul. Să ne amintim adunarea vectorilor:

Vedem că prin adunarea a doi vectori putem obține un vector care are coordonatele „între” cei doi vectori. Adunând pe rând diferiți multipli ai vectorilor $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$, putem acoperi tot planul. Putem scrie astfel ecuațiile parametrice ale planului determinat de vectorii $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ și care trece prin punctul A:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v},t,s\in \mathbb{R}$$

unde X este un punct oarecare al planului. Pentru fiecare punct al planului putem găsi t și s astfel încât ecuația să fie adevărată. Această ecuație o mai putem scrie ca sistem de ecuații. Presupunem că X(x, y, z), A(a₁, a₂, a₃), $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ și $\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Exemplu

Află dacă în planul determinat de punctele A(2, 3, 4), B(3, 7, −1), C(−5, 4, 4) se află punctul Q(0, 3, 5).

Mai întâi construim ecuația planului. Determinăm vectorii $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$, unde $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$. Avem deci:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}& =& B-A=(3,7,-1)-(2,3,4)=(1,4,-5)\\ \overrightarrow{v}& =& C-A=(-5,4,4)-(2,3,4)=(-7,1,0)\end{array}$$

Planul trece prin punctul A, deci scriem sistemul de ecuații:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Acum aflăm dacă planul trece prin punctul Q(0, 3, 5). Facem asta înlocuind în locul lui x,y,z chiar numerele 0, 3, 5 și rezolvând sistemul de ecuații. Obținem deci sistemul:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Din ultima ecuație putem izola pe t:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

Înlocuim pe t în a doua ecuație:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

Și în final înlocuim valorile lui t și s în prima ecuație, ca să vedem dacă ecuația este adevărată:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

Ecuația nu este adevărată, deci tot sistemul nu are soluție, iar punctul Q(0, 3, 5) nu este un punct al planului.