Likning for et plan

Et plan kan vi, på samme måte som en linje, uttrykke på flere måter. Vi begynner med den enkleste, parameterframstillingen for et plan.

Parameterframstilling for et plan

La oss først huske hvordan vi bestemte parameterframstillingen for en linje p. Vi valgte et punkt A som linjen p gikk gjennom, og så en retningsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Når vi la t ganger retningsvektoren til punktet A, fikk vi et punkt på linjen p. For hvert punkt X som ligger på linjen, fikk vi dermed likningen

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Med en liknende tankegang kan vi komme fram til likningen for et plan. For å beskrive et plan trenger vi to ulike vektorer som ikke er nullvektorer og som ikke er parallelle, og selvfølgelig et punkt A som planet går gjennom. Vektorene må ikke være parallelle, slik at de ikke ligger på én linje. Én linje bestemmer ikke et plan, for én linje kan ligge i uendelig mange plan.

Vi kan også gå fram på en annen måte: en linje kan vi bestemme med to ulike punkter A, B. Gjennom disse punktene går det imidlertid uendelig mange plan. Men hvis vi legger til enda et punkt C som ikke ligger på linjen AB, har vi bestemt planet entydig.

Hvis vi har tre ulike punkter A, B, C, kan vi altså lage to ulike vektorer $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Disse to vektorene og for eksempel punktet A bestemmer planet. La oss repetere addisjon av vektorer:

Vi ser at summen av to vektorer gir en vektor som har koordinater «mellom» de to vektorene. Ved å legge sammen ulike multipler av vektorene $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ etter hverandre kan vi dekke hele planet. Vi kan dermed skrive parameterframstillingen for planet som er bestemt av vektorene $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ og går gjennom punktet A:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}+s\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}},t,s\in \mathbb{R}$$

der X er et punkt i planet. For hvert punkt i planet kan vi finne t og s slik at likningen stemmer. Denne likningen kan vi også skrive som et likningssett. Vi antar at X(x, y, z), A(a₁, a₂, a₃), $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[u_1,u_2,u_3]$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}=[v_1,v_2,v_3]$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Eksempel

Finn ut om punktet Q(0, 3, 5) ligger i planet som er bestemt av punktene A(2, 3, 4), B(3, 7, −1), C(−5, 4, 4).

Først setter vi opp likningen for planet. Vi bestemmer vektorene $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, der $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Da gjelder:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}& =& B-A=(3,7,-1)-(2,3,4)=[1,4,-5]\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& =& C-A=(-5,4,4)-(2,3,4)=[-7,1,0]\end{array}$$

Planet går gjennom punktet A, så vi skriver likningssettet:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Nå finner vi ut om punktet Q(0, 3, 5) ligger i dette planet. Det gjør vi ved å sette inn tallene 0, 3, 5 for x,y,z og løse likningssettet. Vi får likningssettet:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Fra den siste likningen kan vi isolere t:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

Vi setter t inn i den andre likningen:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

Til slutt setter vi verdiene av t og s inn i den første likningen for å finne ut om likningen stemmer:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

Likningen stemmer ikke, så hele likningssettet har ingen løsning, og punktet Q(0, 3, 5) ligger ikke i planet.