Equação do plano

O plano pode ser expresso, assim como a reta, de várias maneiras. Vamos começar pela mais simples, as equações paramétricas do plano.

Equações paramétricas do plano

Primeiro, vamos lembrar como determinamos a equação paramétrica da reta p. Escolhemos um ponto A pelo qual passava a reta p e depois um vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Se somávamos ao ponto A algum múltiplo t do vetor diretor, obtínhamos algum ponto da reta p. Para cada ponto X que pertence à reta, obtínhamos, assim, a equação

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Com um raciocínio semelhante podemos chegar à equação do plano. Para descrever um plano, precisamos de dois vetores distintos, não nulos, que não sejam colineares, isto é, que não sejam paralelos, e, claro, de um ponto A pelo qual esse plano passa. Os vetores não podem ser colineares para que não fiquem sobre uma mesma reta. Uma só reta não determina um plano: uma reta pode estar contida em infinitos planos.

Podemos pensar também de outra maneira — conseguimos determinar uma reta por meio de dois pontos distintos A, B. Porém, por esses pontos passam infinitos planos; se, no entanto, acrescentamos a esses pontos mais um ponto C, que não pertence à reta AB, aí sim definimos o plano de forma única.

Assim, se temos três pontos distintos A, B, C, podemos construir dois vetores distintos $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Esses dois vetores e, por exemplo, o ponto A definem o plano. Vamos relembrar a adição de vetores:

Vemos que, pela soma de dois vetores, podemos obter um vetor que tem coordenadas “entre” esses dois vetores. Somando sucessivamente diferentes múltiplos dos vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, conseguimos então preencher o plano inteiro. Podemos, assim, escrever as equações paramétricas do plano determinado pelos vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ e que passa pelo ponto A:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}+s\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}},t,s\in \mathbb{R}$$

em que X é algum ponto do plano. Para cada ponto do plano conseguimos encontrar t e s tais que a equação seja verdadeira. Essa equação ainda pode ser desmembrada em um sistema de equações. Supomos que X(x, y, z), A(a₁, a₂, a₃), $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2,u_3)$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2,v_3)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Exemplo

Descubra se o ponto Q(0, 3, 5) pertence ao plano determinado pelos pontos A(2, 3, 4), B(3, 7, −1), C(−5, 4, 4).

Primeiro montamos a equação do plano. Determinamos os vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, sendo $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Valerá:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}& =& B-A=(3,7,-1)-(2,3,4)=(1,4,-5)\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& =& C-A=(-5,4,4)-(2,3,4)=(-7,1,0)\end{array}$$

O plano passa pelo ponto A, então escrevemos o sistema de equações:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Agora vamos descobrir se o ponto Q(0, 3, 5) pertence a esse plano. Fazemos isso substituindo x,y,z exatamente pelos números 0, 3, 5 e resolvendo o sistema de equações. Obtemos, então, o sistema:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Da última equação podemos isolar t:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

Substituímos t na segunda equação:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

E, por fim, substituímos os valores de t e s na primeira equação, para descobrir se ela é verdadeira:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

A equação não é verdadeira, e o sistema inteiro, portanto, não tem solução: o ponto Q(0, 3, 5) não é um ponto do plano.