Vergelijking van een vlak

Een vlak kunnen we, net als een lijn, op verschillende manieren beschrijven. We beginnen met de eenvoudigste, de parametervoorstelling van een vlak.

Parametervoorstelling van een vlak

Laten we eerst terugdenken aan hoe we de parametervoorstelling van een lijn p bepaalden. We kozen een punt A waar lijn p door ging en daarna een richtingsvector $\overrightarrow{u}$. Als we bij punt A een t-voud van de richtingsvector optelden, kregen we een punt van lijn p. Voor elk punt X dat op de lijn ligt, kregen we dus de vergelijking

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

Met een vergelijkbare redenering komen we bij de vergelijking van een vlak. Om een vlak te beschrijven hebben we twee verschillende vectoren nodig die niet de nulvector zijn en die niet collineair zijn, dus niet evenwijdig, en natuurlijk een punt A waar dit vlak door gaat. De vectoren mogen niet collineair zijn, zodat ze niet op één lijn liggen. Eén lijn legt een vlak niet vast, één lijn kan in oneindig veel vlakken liggen.

We kunnen het ook anders aanpakken — een lijn kunnen we vastleggen met twee verschillende punten A, B. Door die punten gaan echter oneindig veel vlakken — maar als we bij deze punten nog een punt C voegen dat niet op lijn AB ligt, dan leggen we het vlak eenduidig vast.

Als we dus drie verschillende punten A, B, C hebben, kunnen we twee verschillende vectoren maken, $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$. Deze twee vectoren en bijvoorbeeld punt A leggen een vlak vast. Laten we het optellen van vectoren herhalen:

We zien dat we door twee vectoren op te tellen een vector kunnen krijgen die coördinaten heeft die “tussen” die twee vectoren in liggen. Door steeds verschillende veelvouden van de vectoren $\overrightarrow{u}$ en $\overrightarrow{v}$ op te tellen kunnen we het hele vlak vullen. We kunnen dus de parametervoorstelling opschrijven van het vlak dat bepaald is door de vectoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ en dat door punt A gaat:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v},t,s\in \mathbb{R}$$

waarbij X een punt van het vlak is. Voor elk punt van het vlak kunnen we t en s vinden zodat de vergelijking klopt. Deze vergelijking kunnen we nog uitschrijven in een stelsel vergelijkingen. We nemen aan dat X(x, y, z), A(a₁, a₂, a₃), $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$ en $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Voorbeeld

Onderzoek of in het vlak dat bepaald is door de punten A(2, 3, 4), B(3, 7, −1), C(−5, 4, 4) het punt Q(0, 3, 5) ligt.

Eerst stellen we de vergelijking van het vlak op. We bepalen de vectoren $\overrightarrow{u}$ en $\overrightarrow{v}$, waarbij $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$. Er geldt dus:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}& =& B-A=(3,7,-1)-(2,3,4)=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -5\end{array}\right)\\ \overrightarrow{v}& =& C-A=(-5,4,4)-(2,3,4)=\left(\begin{array}{c}-7\\ 1\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$

Het vlak gaat door punt A, dus we schrijven het stelsel vergelijkingen op:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Nu zoeken we uit of het punt Q(0, 3, 5) in dit vlak ligt. Dat doen we door voor x,y,z precies de getallen 0, 3, 5 in te vullen en het stelsel vergelijkingen op te lossen. We krijgen dus het stelsel:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Uit de laatste vergelijking kunnen we t vrijmaken:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

We vullen t in de tweede vergelijking in:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

En ten slotte vullen we de waarden van t en s in de eerste vergelijking in om te zien of de vergelijking klopt:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

De vergelijking klopt niet, het hele stelsel heeft dus geen oplossing, het punt Q(0, 3, 5) ligt niet in het vlak.