A sík egyenlete

A síkot is, akárcsak az egyenest, többféleképpen megadhatjuk. A legegyszerűbbel, a sík paraméteres egyenletével kezdjük.

A sík paraméteres egyenlete

Először emlékezzünk vissza, hogyan határoztuk meg a p egyenes paraméteres egyenletét. Választottunk egy A pontot, amelyen a p egyenes átment, majd egy $\overrightarrow{u}$ irányvektort. Ha az A ponthoz hozzáadtuk az irányvektor valamilyen t-szeresét, megkaptuk a p egyenes egy pontját. Az egyenes minden X pontjára így a következő egyenletet kaptuk:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

Hasonló gondolatmenettel eljuthatunk a sík egyenletéhez. A sík leírásához két különböző, nullától különböző vektor kell, amelyek nem kollineárisak, azaz nem párhuzamosak, és természetesen egy A pont, amelyen a sík átmegy. A vektorok azért nem lehetnek kollineárisak, hogy ne egy egyenesen feküdjenek. Egy egyenes nem határoz meg síkot, egy egyenes végtelen sok síkban benne lehet.

Megközelíthetjük másként is – az egyenest meg tudjuk határozni két különböző A, B ponttal. Ezeken a pontokon azonban végtelen sok sík megy át – ha viszont ehhez a két ponthoz hozzáveszünk még egy C pontot, amely nincs rajta az AB egyenesen, akkor már egyértelműen meghatároztuk a síkot.

Ha tehát adott három különböző A, B, C pont, szerkeszthetünk két különböző vektort: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ és $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$. Ez a két vektor és például az A pont meghatározza a síkot. Emlékeztetőül a vektorok összeadása:

Látjuk, hogy két vektor összegeként olyan vektort kaphatunk, amelynek koordinátái a két vektor „között” vannak. Az $\overrightarrow{u}$ és $\overrightarrow{v}$ vektor különböző többszöröseinek fokozatos összeadásával pedig ki tudjuk tölteni az egész síkot. Fel tudjuk tehát írni annak a síknak a paraméteres egyenletét, amelyet az $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ vektor határoz meg, és amely átmegy az A ponton:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v},t,s\in \mathbb{R}$$

ahol X a sík valamely pontja. A sík minden pontjához találunk olyan t-t és s-t, hogy az egyenlet teljesüljön. Ezt az egyenletet még kibonthatjuk egyenletrendszerré. Feltesszük, hogy X(x; y; z), A(a₁; a₂; a₃), $\overrightarrow{u}(u_1;u_2;u_3)$ és $\overrightarrow{v}(v_1;v_2;v_3)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Példa

Állapítsuk meg, hogy az A(2; 3; 4), B(3; 7; −1), C(−5; 4; 4) pontok által meghatározott síkban rajta van-e a Q(0; 3; 5) pont.

Először felírjuk a sík egyenletét. Meghatározzuk az $\overrightarrow{u}$ és $\overrightarrow{v}$ vektort, ahol $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ és $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$. Tehát:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}& =& B-A=(3;7;-1)-(2;3;4)=(1;4;-5)\\ \overrightarrow{v}& =& C-A=(-5;4;4)-(2;3;4)=(-7;1;0)\end{array}$$

A sík átmegy az A ponton, ezért felírjuk az egyenletrendszert:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Most megállapítjuk, hogy a Q(0; 3; 5) pont rajta van-e ezen a síkon. Ezt úgy tesszük, hogy x,y,z helyére éppen a 0, 3, 5 számokat helyettesítjük, és megoldjuk az egyenletrendszert. Az egyenletrendszer tehát:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Az utolsó egyenletből kifejezhetjük a t-t:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

A t-t behelyettesítjük a második egyenletbe:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

Végül a t és s értékét behelyettesítjük az első egyenletbe, hogy megállapítsuk, teljesül-e az egyenlet:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

Az egyenlet nem teljesül, az egész egyenletrendszernek tehát nincs megoldása, a Q(0; 3; 5) pont nincs rajta a síkon.