Equazione del piano

Un piano, come una retta, si può esprimere in diversi modi. Cominciamo dal più semplice, le equazioni parametriche del piano.

Equazioni parametriche del piano

Ricordiamo prima come abbiamo determinato le equazioni parametriche della retta r. Abbiamo scelto un punto A per cui passava la retta r e poi un vettore direttore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Se al punto A sommavamo un multiplo t del vettore direttore, ottenevamo un punto della retta r. Per ogni punto X che sta sulla retta abbiamo così ottenuto l’equazione

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Con un ragionamento simile possiamo arrivare all’equazione del piano. Per descrivere un piano servono due vettori distinti e non nulli che non siano paralleli, cioè che non siano proporzionali, e naturalmente un punto A per cui passa il piano. I vettori non devono essere paralleli, perché altrimenti starebbero su una stessa retta. Una sola retta non determina il piano: una retta può essere contenuta in infiniti piani.

Possiamo ragionare anche in un altro modo: una retta si può determinare con due punti distinti A, B. Per questi punti però passano infiniti piani; se invece ai punti aggiungiamo ancora un punto C che non sta sulla retta AB, allora il piano è definito in modo univoco.

Se dunque abbiamo tre punti distinti A, B, C, possiamo costruire due vettori distinti $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Questi due vettori e, ad esempio, il punto A definiscono il piano. Ricordiamo la somma di vettori:

Vediamo che sommando due vettori possiamo ottenere un vettore con componenti «comprese» tra i due vettori. Sommando via via diversi multipli dei vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ riusciamo a riempire tutto il piano. Possiamo quindi scrivere le equazioni parametriche del piano determinato dai vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ e passante per il punto A:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}+s\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}},t,s\in \mathbb{R}$$

dove X è un punto del piano. Per ogni punto del piano riusciamo a trovare t e s tali che l’equazione sia verificata. Questa equazione si può ancora scrivere come sistema di equazioni. Supponiamo che X(x; y; z), A(a₁; a₂; a₃), $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1;u_2;u_3)$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1;v_2;v_3)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Esempio

Stabilisci se il punto Q(0; 3; 5) appartiene al piano determinato dai punti A(2; 3; 4), B(3; 7; −1), C(−5; 4; 4).

Per prima cosa scriviamo l’equazione del piano. Determiniamo i vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, con $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Vale:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}& =& B-A=(3;7;-1)-(2;3;4)=(1;4;-5)\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& =& C-A=(-5;4;4)-(2;3;4)=(-7;1;0)\end{array}$$

Il piano passa per il punto A, quindi scriviamo il sistema di equazioni:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Ora stabiliamo se questo piano passa per il punto Q(0; 3; 5). Lo facciamo sostituendo a x,y,z proprio i numeri 0, 3, 5 e risolvendo il sistema di equazioni. Otteniamo quindi il sistema:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Dall’ultima equazione possiamo isolare t:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

Sostituiamo t nella seconda equazione:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

E infine sostituiamo i valori di t e s nella prima equazione per vedere se è verificata:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

L’equazione non è verificata, quindi l’intero sistema non ha soluzioni e il punto Q(0; 3; 5) non appartiene al piano.