Équation du plan

Comme la droite, un plan peut s’exprimer de plusieurs façons. Commençons par la plus simple, la représentation paramétrique du plan.

Représentation paramétrique du plan

Rappelons d’abord comment nous avons déterminé la représentation paramétrique de la droite p. Nous avons choisi un point A par lequel passait la droite p, puis un vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. En ajoutant à A un multiple t du vecteur directeur, on obtient un point de la droite p. Pour chaque point X situé sur la droite, nous avons ainsi l’égalité :

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Par un raisonnement semblable, on peut arriver à l’équation d’un plan. Pour décrire un plan, il faut deux vecteurs non nuls et distincts, qui ne sont pas colinéaires, c’est-à-dire qui ne sont pas parallèles, ainsi qu’un point A par lequel passe ce plan. Les vecteurs ne doivent pas être colinéaires, pour ne pas se trouver sur une même droite. Une seule droite ne détermine pas un plan : une droite peut être contenue dans une infinité de plans.

On peut aussi procéder autrement : une droite est déterminée par deux points distincts A et B. Ces deux points sont toutefois communs à une infinité de plans ; mais si l’on ajoute un troisième point C qui n’appartient pas à la droite (AB), on définit alors le plan de manière unique.

Si l’on a trois points distincts A, B, C, on peut construire deux vecteurs distincts $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Ces deux vecteurs et le point A, par exemple, définissent le plan. Rappelons l’addition des vecteurs :

On voit que la somme de deux vecteurs donne un vecteur situé « entre » les deux. En additionnant successivement divers multiples des vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, on peut ainsi couvrir tout le plan. On peut donc écrire la représentation paramétrique du plan déterminé par les vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ et passant par le point A :

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}+s\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}},t,s\in \mathbb{R}$$

où X est un point quelconque du plan. Pour chaque point du plan, on peut trouver des valeurs de t et s telles que l’égalité soit vraie. On peut encore écrire cette équation sous la forme d’un système d’équations. Supposons que X(x ; y ; z), A(a₁ ; a₂ ; a₃), $\overrightarrow{\mathbf{u}}\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Exemple

Vérifie si le point Q(0 ; 3 ; 5) appartient au plan déterminé par les points A(2 ; 3 ; 4), B(3 ; 7 ; −1), C(−5 ; 4 ; 4).

Commençons par établir l’équation du plan. Déterminons les vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, avec $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. On a donc :

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}& =& B-A=(3;7;-1)-(2;3;4)=(1;4;-5)\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& =& C-A=(-5;4;4)-(2;3;4)=(-7;1;0)\end{array}$$

Le plan passe par le point A : on écrit donc le système d’équations :

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Vérifions maintenant si ce plan passe par le point Q(0 ; 3 ; 5). Pour cela, on remplace x, y, z par les nombres 0, 3, 5 et on résout le système. On obtient donc le système :

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

On peut isoler t à partir de la dernière équation :

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

On remplace t dans la deuxième équation :

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

Enfin, on remplace les valeurs de t et s dans la première équation pour vérifier si elle est vraie :

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

L’égalité n’est pas vraie : le système n’a donc aucune solution, et le point Q(0 ; 3 ; 5) n’est pas un point du plan.