Εξίσωση επιπέδου

Το επίπεδο, όπως και την ευθεία, μπορούμε να το εκφράσουμε με διάφορους τρόπους. Θα ξεκινήσουμε από τον πιο απλό, τις παραμετρικές εξισώσεις του επιπέδου.

Παραμετρικές εξισώσεις επιπέδου

Ας θυμηθούμε πρώτα πώς προσδιορίζαμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας p. Διαλέγαμε ένα σημείο A, από το οποίο διερχόταν η ευθεία p, και μετά ένα παράλληλο διάνυσμα $\overrightarrow{u}$. Αν στο σημείο A προσθέταμε ένα t-πλάσιο του παράλληλου διανύσματος, παίρναμε κάποιο σημείο της ευθείας p. Για κάθε σημείο X που βρίσκεται πάνω στην ευθεία παίρναμε έτσι την εξίσωση

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

Με παρόμοιο συλλογισμό φτάνουμε στην εξίσωση του επιπέδου. Για να περιγράψουμε ένα επίπεδο χρειαζόμαστε δύο διαφορετικά μη μηδενικά διανύσματα που δεν είναι συγγραμμικά, δηλαδή δεν είναι παράλληλα, και φυσικά ένα σημείο A από το οποίο διέρχεται το επίπεδο. Τα διανύσματα δεν πρέπει να είναι συγγραμμικά, ώστε να μη βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Μία ευθεία δεν μας καθορίζει το επίπεδο, αφού μία ευθεία μπορεί να περιέχεται σε άπειρα επίπεδα.

Μπορούμε να το δούμε και αλλιώς – μια ευθεία μπορούμε να την προσδιορίσουμε με δύο διαφορετικά σημεία A, B. Από αυτά τα σημεία όμως διέρχονται άπειρα επίπεδα – αν όμως στα σημεία αυτά προσθέσουμε και ένα ακόμα σημείο C που δεν βρίσκεται στην ευθεία AB, τότε το επίπεδο έχει πια οριστεί μονοσήμαντα.

Αν έχουμε λοιπόν τρία διαφορετικά σημεία A, B, C, μπορούμε να φτιάξουμε δύο διαφορετικά διανύσματα $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$. Αυτά τα δύο διανύσματα και, για παράδειγμα, το σημείο A ορίζουν το επίπεδο. Ας θυμηθούμε την πρόσθεση διανυσμάτων:

Βλέπουμε ότι με το άθροισμα δύο διανυσμάτων μπορούμε να πάρουμε ένα διάνυσμα με συντεταγμένες «ανάμεσα» στα δύο διανύσματα. Προσθέτοντας διαδοχικά διάφορα πολλαπλάσια των διανυσμάτων $\overrightarrow{u}$ και $\overrightarrow{v}$ μπορούμε να γεμίσουμε ολόκληρο το επίπεδο. Μπορούμε έτσι να γράψουμε τις παραμετρικές εξισώσεις του επιπέδου που ορίζεται από τα διανύσματα $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ και διέρχεται από το σημείο A:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v},t,s\in \mathbb{R}$$

όπου X είναι κάποιο σημείο του επιπέδου. Για κάθε σημείο του επιπέδου μπορούμε να βρούμε τέτοια t και s ώστε η εξίσωση να ισχύει. Αυτή την εξίσωση μπορούμε ακόμα να την αναλύσουμε σε σύστημα εξισώσεων. Υποθέτουμε ότι X(x, y, z), A(a₁, a₂, a₃), $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$ και $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Παράδειγμα

Βρες αν το σημείο Q(0, 3, 5) βρίσκεται στο επίπεδο που ορίζεται από τα σημεία A(2, 3, 4), B(3, 7, −1), C(−5, 4, 4).

Πρώτα φτιάχνουμε την εξίσωση του επιπέδου. Προσδιορίζουμε τα διανύσματα $\overrightarrow{u}$ και $\overrightarrow{v}$, με $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$. Θα ισχύει:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}& =& B-A=(3,7,-1)-(2,3,4)=(1,4,-5)\\ \overrightarrow{v}& =& C-A=(-5,4,4)-(2,3,4)=(-7,1,0)\end{array}$$

Το επίπεδο διέρχεται από το σημείο A, οπότε γράφουμε το σύστημα εξισώσεων:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Τώρα θα βρούμε αν από αυτό το επίπεδο διέρχεται το σημείο Q(0, 3, 5). Αυτό το κάνουμε αντικαθιστώντας στη θέση των x, y, z ακριβώς τους αριθμούς 0, 3, 5 και λύνοντας το σύστημα εξισώσεων. Παίρνουμε λοιπόν το σύστημα:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Από την τελευταία εξίσωση μπορούμε να λύσουμε ως προς t:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

Αντικαθιστούμε το t στη δεύτερη εξίσωση:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

Και τέλος αντικαθιστούμε τις τιμές των t και s στην πρώτη εξίσωση, για να δούμε αν η εξίσωση ισχύει:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

Η εξίσωση δεν ισχύει, άρα ολόκληρο το σύστημα δεν έχει λύση και το σημείο Q(0, 3, 5) δεν είναι σημείο του επιπέδου.