Уравнение на равнина

Равнината, също като правата, можем да изразим по няколко начина. Започваме с най-простия – параметричното уравнение на равнина.

Параметрично уравнение на равнина

Първо да си спомним как определяхме параметричното уравнение на права p. Избрахме точка A, през която минаваше правата p, и след това насочващ вектор $\overrightarrow{u}$. Когато към точката A прибавяхме някакво t-кратно на насочващия вектор, получавахме някаква точка от правата p. Така за всяка точка X, която лежи на правата, получавахме уравнението

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

По подобно разсъждение можем да стигнем до уравнението на равнина. За описването на равнина ни трябват два различни ненулеви вектора, които не са колинеарни, т.е. които не са успоредни, и разбира се точка A, през която минава тази равнина. Векторите не трябва да са колинеарни, за да не лежат на една права. Една права не определя равнина – една права може да се съдържа в безбройно много равнини.

Можем да подходим и по друг начин – правата можем да определим с две различни точки A, B. През тези точки обаче минават безбройно много равнини, но ако към тях добавим още една точка C, която не лежи на правата AB, вече определяме равнината еднозначно.

Ако имаме три различни точки A, B, C, можем да построим два различни вектора $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$. Тези два вектора и например точката A определят равнината. Нека си припомним събирането на вектори:

Виждаме, че със сбора на два вектора можем да получим вектор, който има координати „между“ тези два вектора. С последователно събиране на различни кратни на векторите $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$ можем да запълним цялата равнина. Така можем да запишем параметричното уравнение на равнината, която е определена от векторите $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ и минава през точката A:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v},t,s\in \mathbb{R}$$

където X е някаква точка от равнината. За всяка точка от равнината можем да намерим такива t и s, че уравнението да е изпълнено. Това уравнение можем да разпишем още в система уравнения. Предполагаме, че X(x; y; z), A(a₁; a₂; a₃), $\overrightarrow{u}(u_1;u_2;u_3)$ и $\overrightarrow{v}(v_1;v_2;v_3)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Пример

Установи дали в равнината, определена от точките A(2; 3; 4), B(3; 7; −1), C(−5; 4; 4), лежи точката Q(0; 3; 5).

Първо съставяме уравнението на равнината. Определяме векторите $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$, като $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$. Ще бъде изпълнено:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}& =& B-A=(3;7;-1)-(2;3;4)=(1;4;-5)\\ \overrightarrow{v}& =& C-A=(-5;4;4)-(2;3;4)=(-7;1;0)\end{array}$$

Равнината минава през точката A, така че записваме системата уравнения:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Сега ще установим дали точката Q(0; 3; 5) лежи в тази равнина. Това правим, като заместим x,y,z точно с числата 0, 3, 5 и решим системата уравнения. Така получаваме системата:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

От последното уравнение можем да изразим t:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

Заместваме t във второто уравнение:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

И накрая заместваме стойностите на t и s в първото уравнение, за да видим дали уравнението е изпълнено:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

Уравнението не е изпълнено, следователно цялата система няма решение и точката Q(0; 3; 5) не е точка от равнината.