Düzlem Denklemi

Düzlemi de doğru gibi birkaç farklı yolla ifade edebiliriz. En basitinden, düzlemin parametrik denkleminden başlayalım.

Düzlemin Parametrik Denklemi

Önce doğrunun parametrik denklemini p doğrusu için nasıl yazdığımızı hatırlayalım. p doğrusunun geçtiği bir A noktası seçmiş, sonra bir yön vektörü $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ almıştık. A noktasına yön vektörünün herhangi bir t katını eklersek, p doğrusunun bir noktasını elde ediyorduk. Doğru üzerindeki her X noktası için şu denklemi bulmuştuk:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Benzer düşünceyle düzlemin denklemine de ulaşabiliriz. Bir düzlemi belirlemek için sıfırdan farklı, paralel olmayan (yani doğrusal bağımsız) iki farklı vektöre ve düzlemin geçtiği bir A noktasına ihtiyacımız var. Vektörler paralel olmamalıdır, çünkü paralel olsalar aynı doğru üzerinde kalırlardı. Tek bir doğru düzlemi belirlemez: bir doğru sonsuz sayıda düzlemin içinde bulunabilir.

Bunu başka türlü de düşünebiliriz — bir doğruyu iki farklı A, B noktasıyla belirleyebiliriz. Ancak bu iki noktadan sonsuz sayıda düzlem geçer. Bunlara AB doğrusu üzerinde olmayan bir C noktası da eklersek, düzlem artık tek türlü belirlenmiş olur.

Yani birbirinden farklı üç nokta A, B, C verilmişse, iki farklı vektör oluşturabiliriz: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Bu iki vektör ve örneğin A noktası düzlemi belirler. Vektörlerin toplamını hatırlayalım:

İki vektörü toplayınca koordinatları bu iki vektörün “arasında” kalan bir vektör elde ettiğimizi görüyoruz. $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörlerinin farklı katlarını art arda toplayarak tüm düzlemi doldurabiliriz. Böylece $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörleriyle belirlenen ve A noktasından geçen düzlemin parametrik denklemini yazabiliriz:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}+s\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}},t,s\in \mathbb{R}$$

Burada X, düzlemin herhangi bir noktasıdır. Düzlemin her noktası için denklemi sağlayan t ve s değerleri bulabiliriz. Bu denklemi bir denklem sistemi olarak da yazabiliriz. X(x, y, z), A(a₁, a₂, a₃), $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2,u_3)$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2,v_3)$ olsun.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Örnek

A(2, 3, 4), B(3, 7, −1), C(−5, 4, 4) noktalarıyla belirlenen düzlemin Q(0, 3, 5) noktasından geçip geçmediğini bul.

Önce düzlemin denklemini yazalım. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$ olacak şekilde $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ve $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörlerini bulalım:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}& =& B-A=(3,7,-1)-(2,3,4)=(1,4,-5)\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& =& C-A=(-5,4,4)-(2,3,4)=(-7,1,0)\end{array}$$

Düzlem A noktasından geçtiğine göre denklem sistemini yazabiliriz:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Şimdi Q(0, 3, 5) noktasının bu düzlemin üzerinde olup olmadığına bakalım. Bunun için x,y,z yerine 0, 3, 5 sayılarını yazıp denklem sistemini çözeriz. Sistem şöyle olur:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Son denklemden t’yi yalnız bırakalım:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

t değerini ikinci denklemde yerine yazalım:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

Son olarak t ve s değerlerini birinci denklemde yerine yazıp denklemin sağlanıp sağlanmadığına bakalım:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

Denklem sağlanmıyor, dolayısıyla tüm denklem sisteminin çözümü yoktur. Yani Q(0, 3, 5) noktası düzlemin üzerinde değildir.