Planens ligning

En plan kan vi, ligesom en linje, udtrykke på flere måder. Vi begynder med den enkleste, planens parameterfremstilling.

Planens parameterfremstilling

Lad os først huske på, hvordan vi bestemte parameterfremstillingen for linjen p. Vi valgte et punkt A, som linjen p gik gennem, og derefter retningsvektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Hvis vi lagde t gange retningsvektoren til punktet A, fik vi et punkt på linjen p. For hvert punkt X, der ligger på linjen, fik vi således ligningen

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Med en lignende overvejelse kan vi nå frem til planens ligning. For at beskrive en plan har vi brug for to forskellige vektorer, som ikke er nulvektorer og ikke er parallelle, og selvfølgelig et punkt A, som planen går gennem. Vektorerne må ikke være parallelle, for ellers ville de ligge på samme linje. Én linje bestemmer ikke en plan, én linje kan være indeholdt i uendelig mange planer.

Vi kan også gribe det an på en anden måde — en linje kan vi bestemme ved hjælp af to forskellige punkter A, B. Gennem disse punkter går der dog uendelig mange planer — men hvis vi til disse punkter tilføjer endnu et punkt C, som ikke ligger på linjen AB, har vi entydigt defineret en plan.

Hvis vi altså har tre forskellige punkter A, B, C, kan vi konstruere to forskellige vektorer $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Disse to vektorer og for eksempel punktet A definerer en plan. Lad os huske på addition af vektorer:

Vi ser, at vi som sum af to vektorer kan få en vektor, som har koordinater »mellem« de to vektorer. Ved at lægge forskellige multipla af vektorerne $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ sammen kan vi så fylde hele planen ud. Vi kan således opskrive parameterfremstillingen for den plan, som er bestemt af vektorerne $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ og går gennem punktet A:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}+s\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}},t,s\in \mathbb{R}$$

hvor X er et punkt i planen. For hvert punkt i planen kan vi finde sådanne t og s, at ligningen gælder. Denne ligning kan vi også skrive ud som et ligningssystem. Vi antager, at X(x, y, z), A(a₁, a₂, a₃), $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Eksempel

Undersøg, om punktet Q(0, 3, 5) ligger i den plan, som er bestemt af punkterne A(2, 3, 4), B(3, 7, −1), C(−5, 4, 4).

Først opstiller vi planens ligning. Vi bestemmer vektorerne $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, hvor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{AC}$. Der gælder altså:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}& =& B-A=(3,7,-1)-(2,3,4)=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -5\end{array}\right)\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& =& C-A=(-5,4,4)-(2,3,4)=\left(\begin{array}{c}-7\\ 1\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$

Planen går gennem punktet A, så vi opskriver ligningssystemet:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Nu undersøger vi, om punktet Q(0, 3, 5) ligger i denne plan. Det gør vi ved at indsætte netop tallene 0, 3, 5 for x,y,z og løse ligningssystemet. Vi får altså systemet:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Af den sidste ligning kan vi isolere t:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

Vi indsætter t i den anden ligning:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

Og til sidst indsætter vi værdierne af t og s i den første ligning for at undersøge, om ligningen gælder:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

Ligningen gælder ikke, hele systemet har altså ingen løsning, og punktet Q(0, 3, 5) er ikke et punkt i planen.