Tason yhtälö

Tason voi suoran tavoin esittää usealla tavalla. Aloitamme yksinkertaisimmasta, tason parametriesityksestä.

Tason parametriesitys

Muistellaan ensin, miten määritimme suoran p parametriyhtälön. Valitsimme pisteen A, jonka kautta suora p kulki, ja sitten suuntavektorin $\overline{u}$. Kun pisteeseen A lisättiin suuntavektorin jokin t-kertainen, saimme jonkin suoran p pisteen. Jokaiselle suoralla olevalle pisteelle X saimme siis yhtälön

$$X=A+t\cdot \overline{u},t\in \mathbb{R}.$$

Samanlaisella päättelyllä päästään tason yhtälöön. Tason kuvaamiseen tarvitaan kaksi eri nollasta poikkeavaa vektoria, jotka eivät ole yhdensuuntaiset, ja tietysti piste A, jonka kautta taso kulkee. Vektorit eivät saa olla yhdensuuntaiset, jotta ne eivät olisi samalla suoralla. Yksi suora ei määrää tasoa: yksi suora voi olla äärettömän monessa tasossa.

Asiaa voi lähestyä myös toisin: suoran pystymme määräämään kahdella eri pisteellä A, B. Näiden pisteiden kautta kulkee kuitenkin äärettömän monta tasoa, mutta jos näihin pisteisiin lisätään vielä yksi piste C, joka ei ole suoralla AB, määrittelemme tason jo yksiselitteisesti.

Jos meillä on siis kolme eri pistettä A, B, C, voimme muodostaa kaksi eri vektoria $\overline{u}=\overrightarrow{AB}$ ja $\overline{v}=\overrightarrow{AC}$. Nämä kaksi vektoria ja esimerkiksi piste A määrittelevät tason. Palautetaan mieleen vektorien yhteenlasku:

Näemme, että kahden vektorin summana voimme saada vektorin, jonka koordinaatit ovat ”näiden kahden vektorin välissä”. Laskemalla vähitellen yhteen vektorien $\overline{u}$ ja $\overline{v}$ erilaisia monikertoja pystymme täyttämään koko tason. Voimme siis kirjoittaa sellaisen tason parametriesityksen, jonka määräävät vektorit $\overline{u},\overline{v}$ ja joka kulkee pisteen A kautta:

$$X=A+t\cdot \overline{u}+s\cdot \overline{v},t,s\in \mathbb{R}$$

missä X on jokin tason piste. Jokaiselle tason pisteelle pystymme löytämään sellaiset t ja s, että yhtälö pätee. Tämän yhtälön voi vielä kirjoittaa yhtälöryhmäksi. Oletetaan, että X = (x, y, z), A = (a₁, a₂, a₃), $\overline{u}=(u_1,u_2,u_3)$ ja $\overline{v}=(v_1,v_2,v_3)$.

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1+s\cdot v_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2+s\cdot v_2\\ z& =& a_3+t\cdot u_3+s\cdot v_3\end{array}$$

Esimerkki

Selvitä, onko tasossa, jonka määräävät pisteet A = (2, 3, 4), B = (3, 7, −1), C = (−5, 4, 4), piste Q = (0, 3, 5).

Muodostetaan ensin tason yhtälö. Määritetään vektorit $\overline{u}$ ja $\overline{v}$, joille $\overline{u}=\overrightarrow{AB}$ ja $\overline{v}=\overrightarrow{AC}$. Tällöin pätee:

$$\begin{array}{rcl}\overline{u}& =& B-A=(3,7,-1)-(2,3,4)=(1,4,-5)\\ \overline{v}& =& C-A=(-5,4,4)-(2,3,4)=(-7,1,0)\end{array}$$

Taso kulkee pisteen A kautta, joten kirjoitamme yhtälöryhmän:

$$\begin{array}{rcl}x& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ y& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ z& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Nyt selvitetään, onko piste Q = (0, 3, 5) tässä tasossa. Se tehdään sijoittamalla muuttujien x,y,z paikalle luvut 0, 3, 5 ja ratkaisemalla yhtälöryhmä. Saamme siis yhtälöryhmän:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\end{array}$$

Viimeisestä yhtälöstä voimme ratkaista t:n:

$$\begin{array}{rcl}5& =& 4-t\cdot 5+s\cdot 0\\ 5& =& 4-t\cdot 5\\ 1& =& -t\cdot 5\\ t\cdot 5& =& -1\\ t& =& -\frac{1}{5}\end{array}$$

Sijoitetaan t toiseen yhtälöön:

$$\begin{array}{rcl}3& =& 3+t\cdot 4+s\cdot 1\\ 3& =& 3-\frac{1}{5}\cdot 4+s\cdot 1\\ 0& =& -\frac{4}{5}+s\cdot 1\\ s& =& \frac{4}{5}\end{array}$$

Ja lopuksi sijoitetaan arvot t ja s ensimmäiseen yhtälöön nähdäksemme, päteekö yhtälö:

$$\begin{array}{rcl}0& =& 2+t\cdot 1-s\cdot 7\\ 0& =& 2-\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{4}{5}\cdot 7\\ 0& =& \frac{10}{5}-\frac{1}{5}-\frac{28}{5}\\ 0& =& -\frac{19}{5}\end{array}$$

Yhtälö ei päde, joten koko yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua, ja piste Q = (0, 3, 5) ei ole tason piste.