Πόσοι διαφορετικοί κωδικοί PIN υπάρχουν;

Φαντάσου ότι έχεις μια κλειδαριά με αριθμητικό κωδικό στο ποδήλατό σου, στην οποία μπορείς να ρυθμίσεις έναν τετραψήφιο κωδικό. Ή ότι θέλεις να ορίσεις έναν παρόμοιο τετραψήφιο κωδικό στην τραπεζική σου κάρτα. Πόσες δυνατότητες υπάρχουν; Ας το υπολογίσουμε.

Πλήθος των δυνατών τετραψήφιων κωδικών

Πόσοι συνδυασμοί θα υπήρχαν, αν ο κωδικός αποτελούνταν μόνο από έναν αριθμό από το μηδέν έως το εννέα; Θα υπήρχαν συνολικά δέκα συνδυασμοί: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Πόσες δυνατότητες θα παίρναμε, αν προσθέταμε έναν ακόμη αριθμό, δηλαδή αν είχαμε διψήφιο κωδικό; Φαντάσου το έτσι: στην πρώτη κλειδαριά ορίζουμε τον αριθμό μηδέν και στη δεύτερη δοκιμάζουμε διαδοχικά όλους τους αριθμούς από το μηδέν έως το εννέα:

00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09

Παίρνουμε δέκα συνδυασμούς. Τώρα αλλάζουμε στην πρώτη κλειδαριά τον αριθμό από μηδέν σε ένα και κάνουμε το ίδιο:

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Έχουμε άλλους δέκα συνδυασμούς. Συνεχίζουμε έτσι, μέχρι να δοκιμάσουμε στην πρώτη κλειδαριά όλους τους αριθμούς και να καταλήξουμε στο εννέα:

90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

Συνολικά παίρνουμε δέκα τέτοιες σειρές και σε κάθε σειρά δέκα συνδυασμούς. Αν προσθέσουμε όλους τους αριθμούς σε όλες τις σειρές, παίρνουμε για τη διψήφια κλειδαριά 10 · 10 συνδυασμούς, δηλαδή εκατό.

Έτσι συνεχίζουμε. Προσθέτουμε τον τρίτο αριθμό στην κλειδαριά και το πλήθος των συνδυασμών πάλι δεκαπλασιάζεται. Ο τριψήφιος κωδικός θα έχει λοιπόν 10 · 10 · 10, δηλαδή χίλιους συνδυασμούς. Και τελικά ο τετραψήφιος κωδικός θα περιέχει

$$10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10.000$$

συνδυασμούς. Όλη την ώρα χρησιμοποιούσαμε απλώς την πολλαπλασιαστική αρχή. Αν λοιπόν έχουμε τετραψήφια κλειδαριά, στην οποία εμφανίζονται πάντα δέκα διαφορετικά ψηφία, μπορούμε να υπολογίσουμε το πλήθος των συνδυασμών με τη βοήθεια των δυνάμεων ως

$${10}^4=10\cdot 10\cdot 10\cdot 10$$

Αν είχαμε 3 κλειδαριές και σε καθεμία μπορούσαμε να διαλέξουμε ένα γράμμα του αγγλικού αλφαβήτου, δηλαδή τα γράμματα από το A έως το Z, που είναι 26, θα παίρναμε συνολικά

$${26}^3=17.576$$

δυνατότητες.

Πώς να δοκιμάσεις όλους τους συνδυασμούς ενός PIN;

Αν ποτέ χρειαστεί να δοκιμάσεις όλους τους συνδυασμούς μιας κλειδαριάς με αριθμητικό κωδικό ή ενός PIN, προχώρησε κυρίως συστηματικά. Αν έχεις τετραψήφια κλειδαριά με αριθμούς από το 0 έως το 9, ξεκίνα από το 0000 και μετά αύξανε διαδοχικά τον τελευταίο αριθμό:

0000, 0001, 0002, …, 0009

Στη συνέχεια γύρισε τη δεύτερη κλειδαριά από τα δεξιά και δοκίμασε πάλι όλες τις δυνατότητες, γυρίζοντας τον τελευταίο αριθμό:

0010, 0011, 0012, …, 0019

Μετά γύρισε πάλι τη δεύτερη κλειδαριά από τα δεξιά και πάλι όλους τους συνδυασμούς από την αρχή:

0020, 0021, 0022, …, 0029

Όταν φτάσεις στο 0099, γύρισε την τρίτη κλειδαριά από τα δεξιά και συνέχισε πάλι:

0100, 0101, 0102, …, 0199

Ο τελευταίος συνδυασμός που μπορείς να δοκιμάσεις είναι το 9999. Τότε μπορείς να είσαι σίγουρος ότι τους δοκίμασες όλους.