累乗と累乗根

累乗は数学の演算の1つで、簡単にいえば、同じ数をくり返しかけることを短く書くためのものです。

指数が自然数の場合

累乗は aⁿ の形をしています。n を指数、a を底といいます。ここからは、おもに指数の形に注目します。この節では、指数が自然数、つまり指数が 1, 2, 3, 4, … のときの累乗の性質を見ていきます。

たとえば、6² はこのような累乗です。6が底、2が指数です。指数は、答えを求めるために6をいくつかけ合わせるかを表しています。したがって、6² = 6 · 6 = 36 です。別の例では、4³ = 4 · 4 · 4 = 64 です。一般には、次のように書けます。

$$a^n=\underset{n\text{個}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

底は数でも、もっと複雑な式でもかまいません。計算するときは、その式を指数の数だけかけ合わせればよいのです。例を挙げます。

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

指数が0のときは、a⁰ = 1 と定めます。

指数が負の数の場合

この節では、指数が負の数の場合を考えます。どのように考えればよいでしょうか。a⁰ = 1 から出発します。a¹ を求めたいなら、a⁰ に a をかける、と考えることができます。a⁰ = 1 なので、積は a⁰ · a = a となり、a が得られます。a² を求めたいなら、a² = a⁰ · a · a と書けます。

a⁰ = 1 を出発点の値と考えると、aⁿ を求めるには、a⁰ に a を n 回かければよいことになります。では、n が負の数のときはどうすればよいでしょうか。n が正の数ならかけ算をします。n が負の数なら、割り算をすることにします。つまり、a⁻¹ は、出発点の値 a⁰ を a で割って求めます。すると、次の式が得られます。

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

a⁻² を求めたいなら、a⁰ を a で2回割ります。何が得られるでしょうか。その前に、割り算の別の書き方を確認しておきます。商 x/y は、次のように書くこともできます。

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

これは分数の基本的な性質の1つです。したがって、ある式 x を式 y で2回割るときは、次のように書けます。

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

a⁻² の例にもどりましょう。これは、式 a⁰ を a で2回割れば得られるのでした。これをさらに次のように変形します。

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

これで、指数が負の数の累乗を求める方法がわかりました。指数が正の数であるかのように累乗を計算し、それから1をその結果で割って、逆数にすればよいのです。正確に書くと、次のようになります。

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

（ここでは、−n が負の数、つまり n が正の数であるとします。）

いくつか例を挙げます。

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

指数が有理数の場合

さらに、指数をすべての有理数に広げることができます。有理数とは、分数、つまり2つの整数の商の形で表せる数です。n を正の数として、分数 m/n を考えます。すると、次の公式が成り立ちます。

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

a^m の上にあるかぎのような記号は、累乗根を表す記号です。

計算ツール

累乗を計算したいときは、累乗の計算ツール 🧮が使えます。

累乗の性質

• a ≠ 0 のとき、a⁰ = 1。
• a¹ = a。
• n > 0 のとき、0ⁿ = 0。
• 0⁰ は定義されません。
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ。
• a^m · aⁿ = a^{m + n}。
• a ≠ 0 のとき、$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$。
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}。