Hányféle PIN-kód létezik?

Képzeld el, hogy van egy számzáras biciklizárad, amelyen beállíthatsz egy négyjegyű kódot. Vagy egy hasonló négyjegyű kódot szeretnél beállítani a bankkártyádon. Hányféle lehetőség van? Számoljuk ki.

A négyjegyű kód változatainak száma

Hány kombináció lenne, ha a kód csak egyetlen számjegyből állna nullától kilencig? Összesen tíz kombináció: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Hány lehetőséget kapnánk, ha még egy számjegyet hozzáadnánk, vagyis kétjegyű kódunk lenne? Képzeljük el úgy, hogy az első zárnál beállítjuk a nullát, a másodiknál pedig sorban kipróbáljuk az összes számot nullától kilencig:

00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09

Tíz kombinációt kaptunk. Most az első zárnál nulláról egyesre váltunk, és ugyanezt csináljuk:

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Újabb tíz kombináció. Így folytatjuk, amíg az első zárnál az összes számot ki nem próbáljuk, és a kilencesnél be nem fejezzük:

90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

Összesen tehát tíz ilyen sorunk van, mindegyik sorban tíz kombinációval. Ha az összes sor összes elemét összeszámoljuk, a kétjegyű zárnál 10 · 10 kombinációt kapunk, vagyis százat.

Így folytathatjuk tovább. Hozzáadunk a zárhoz egy harmadik számjegyet, amitől a kombinációk száma ismét tízszeresére nő. A háromjegyű kódnak tehát 10 · 10 · 10, azaz ezer kombinációja lesz. Végül a négyjegyű kód

$$10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10000$$

kombinációt tartalmaz. Eközben végig csak a kombinatorikai szorzatszabályt használtuk. Ha tehát van egy négyjegyű zárunk, amelyben mindig tíz különböző számjegy szerepel, a kombinációk számát hatványokkal így számolhatjuk ki:

$${10}^4=10\cdot 10\cdot 10\cdot 10$$

Ha 3 zárunk lenne, és mindegyikben az angol ábécé egy betűjét választhatnánk, vagyis az A-tól Z-ig terjedő 26 betű egyikét, összesen

$${26}^3=17576$$

lehetőséget kapnánk.

Hogyan próbáld ki a PIN-kód összes kombinációját?

Ha valaha ki kell próbálnod egy számzár vagy egy PIN-kód összes kombinációját, főleg módszeresen járj el. Ha van egy négyjegyű zárad 0-tól 9-ig terjedő számjegyekkel, kezdd a 0000-val, aztán sorban növeld az utolsó számjegyet:

0000, 0001, 0002, …, 0009

Ezután fordíts egyet a jobbról második záron, és újra próbáld ki az összes variációt úgy, hogy az utolsó számjegyet forgatod:

0010, 0011, 0012, …, 0019

Aztán megint fordíts egyet a jobbról második záron, és újra az összes kombinációt:

0020, 0021, 0022, …, 0029

Amikor eljutsz a 0099-hez, fordíts egyet a jobbról harmadik záron, és folytasd tovább:

0100, 0101, 0102, …, 0199

Az utolsó kombináció, amelyet kipróbálhatsz, a 9999. Ekkor biztos lehetsz benne, hogy mindet kipróbáltad.