Operazioni con le relazioni

Poiché le relazioni sono in realtà insiemi, possiamo svolgere con esse le classiche operazioni insiemistiche.

Operazioni insiemistiche

Nell’articolo precedente abbiamo definito le relazioni come insiemi. Con gli insiemi possiamo svolgere operazioni come l’unione, l’intersezione o la differenza. Vediamo che significato hanno nel caso delle relazioni.

Per prima cosa dobbiamo porre una condizione, perché queste operazioni non si possono svolgere tra relazioni qualsiasi. Se abbiamo le relazioni «minore di» ed «essere un numero pari», queste operazioni non avranno senso, perché la prima relazione è binaria, mentre la seconda è unaria. Per ottenere di nuovo una relazione dopo l’operazione insiemistica, tutte le relazioni coinvolte devono avere la stessa arità, cioè devono essere tutte n-arie per un certo n.

Unione

Prendiamo le relazioni «minore di» e «uguaglianza». Che cosa succede se le uniamo? Nella relazione «minore di» abbiamo tutte le coppie (a; b) per cui vale a < b. Nella relazione di uguaglianza abbiamo tutte le coppie (a; b) per cui vale a = b. Nella relazione < ∪ = ci saranno quindi tutte le coppie (a; b) per cui vale a < b oppure a = b. Il numero a è minore del numero b, oppure è uguale. Questa relazione la conosciamo e la chiamiamo «minore o uguale», la indichiamo con ≤.

Date le relazioni R₁ e R₂, dall’unione nasce la relazione R = R₁ ∪ R₂, per cui vale: l’elemento r è nella relazione R se è nella relazione R₁ oppure nella relazione R₂. In altre parole, nella relazione risultante ci sarà se era in almeno una delle relazioni che uniamo.

Intersezione

Con l’unione abbiamo ottenuto una nuova relazione i cui elementi erano elementi di almeno una delle relazioni unite. Con l’intersezione è simile, solo che gli elementi devono appartenere a entrambe le relazioni.

Se prendiamo di nuovo le relazioni «minore di» e «uguaglianza» (sui numeri reali) e ne facciamo l’intersezione — che cosa otteniamo? Dovremmo ottenere gli elementi che sono nella relazione «minore di» e allo stesso tempo sono uguali. Ma un caso simile non può verificarsi, perché se a < b, non vale mai a = b. Otterremmo la relazione vuota.

Prendiamo queste due relazioni: «divisibilità» e la relazione binaria che contiene le coppie di elementi (a; b) in cui a è un numero dispari e b è un numero pari. Lavoriamo sui numeri naturali diversi da zero. Nella prima relazione ci sarebbero coppie di numeri come (5; 15), (6; 30), (3; 123) — il secondo numero deve sempre essere divisibile per il primo. Nella seconda relazione ci saranno le coppie di numeri in cui il primo numero è dispari e il secondo pari: (1; 4), (5; 14), (3; 24) ecc. Dall’intersezione di queste relazioni nasce una nuova relazione R che conterrà le coppie (a; b) per cui vale che b è divisibile per a e allo stesso tempo a è dispari e b è pari. Per esempio: (5; 30) oppure (3; 24).

Differenza

Date due relazioni R₁ e R₂, dalla differenza R₁ − R₂ nasce una nuova relazione, a cui appartengono gli elementi che sono in R₁ ma non sono in R₂. Possiamo tornare alle relazioni «minore o uguale» e «uguaglianza». Se la relazione R₁ è «minore o uguale» e la relazione R₂ è l’uguaglianza, con la differenza R₁ − R₂ otteniamo gli elementi che sono nella relazione «minore o uguale» ma non sono nella relazione di uguaglianza. Otteniamo quindi le coppie (a; b) per cui vale a ≤ b e allo stesso tempo non vale a = b. In altre parole otteniamo la relazione «minore di»: <.

Complemento di una relazione

Per ogni relazione possiamo trovare il complemento della relazione. Gli elementi del complemento della relazione R sono tutti gli elementi che non appartengono alla relazione originaria R. Per esempio il complemento della relazione di uguaglianza (cioè =) è la relazione di disuguaglianza. Nella prima relazione abbiamo tutte le coppie di elementi che sono uguali (per esempio 5 = 5), nel complemento della relazione abbiamo tutte le coppie di numeri che non sono uguali (per esempio 5 ≠ 6).

L’unica cosa a cui devi stare attento nel determinare il complemento di una relazione è l’insieme sostegno — l’insieme a cui appartiene la relazione. La relazione di uguaglianza possiamo definirla sui numeri naturali, sugli interi, sui numeri reali, ma anche sull’insieme di tutte le persone sulla Terra.

Se abbiamo una relazione binaria R tra gli insiemi M₁ e M₂: R ⊆ M₁ × M₂, allora il complemento della relazione, che chiamiamo S, è uguale a S = (M₁ × M₂) ∖ R: sono gli elementi che stanno nel prodotto cartesiano degli insiemi sostegno ma non sono nella relazione R. Allo stesso modo per le relazioni di altre arità.