Operationer med relationer

Eftersom relationer i själva verket är mängder kan vi utföra de vanliga mängdoperationerna med dem.

Mängdoperationer

I den förra artikeln definierade vi relationer som mängder. Med mängder kan vi utföra operationer som union, snitt eller differens. Vi tittar på vad det betyder för relationer.

Först måste vi införa ett villkor, eftersom vi inte kan utföra de här operationerna mellan godtyckliga relationer. Om vi har relationerna ”mindre än” och ”vara ett jämnt tal” är operationerna meningslösa, eftersom den första relationen är binär och den andra unär. För att vi efter mängdoperationen återigen ska få en relation måste alla inblandade relationer ha samma aritet, det vill säga alla måste vara n-ära för något n.

Union

Vi har relationerna ”mindre än” och ”likhet”. Vad händer om vi bildar unionen av dem? I relationen mindre än har vi alla par (a, b) för vilka a < b gäller. I likhetsrelationen har vi alla par (a, b) för vilka a = b gäller. I relationen < ∪ = finns alltså alla par (a, b) för vilka det gäller att a < b eller a = b. Talet a är antingen mindre än talet b eller lika med det. Den relationen känner vi redan, vi kallar den ”mindre än eller lika med” och betecknar den ≤.

Om vi har relationerna R₁ och R₂ får vi med unionen relationen R = R₁ ∪ R₂, för vilken det gäller: elementet r finns i relationen R om det finns i relationen R₁ eller i relationen R₂. Med andra ord finns det med i den resulterande relationen om det fanns i minst en av relationerna i unionen.

Snitt

Vid unionen fick vi en ny relation vars element var element i minst en av relationerna i unionen. För snittet är det likadant, bara att elementen måste vara med i båda relationerna.

Om vi återigen tar relationerna mindre än och likhet (över de reella talen) och bildar deras snitt — vad får vi? Vi borde få de element som finns i relationen mindre än och som samtidigt är lika. Det fallet kan dock aldrig inträffa, eftersom om a < b så gäller aldrig a = b. Vi skulle få den tomma relationen.

Vi tar dessa två relationer: ”delbarhet” och en binär relation som innehåller par av element (a, b), där a är ett udda tal och b är ett jämnt tal. Vi arbetar med de positiva heltalen. I den första relationen skulle det finnas par av tal som (5, 15), (6, 30), (3, 123) — det andra talet måste alltid vara delbart med det första. I den andra relationen finns sådana par av tal där det första talet är udda och det andra jämnt: (1, 4), (5, 14), (3, 24) osv. Snittet av de här relationerna ger en ny relation R som innehåller de par (a, b) för vilka b är delbart med a och samtidigt a är udda och b är ett jämnt tal. Till exempel: (5, 30) eller (3, 24).

Differens

Om vi har två relationer R₁ och R₂ får vi med differensen R₁ − R₂ en ny relation som innehåller de element som finns i R₁ men inte i R₂. Vi kan återigen gå tillbaka till relationerna mindre än eller lika med och likhet. Om relationen R₁ är mindre än eller lika med och relationen R₂ är likhetsrelationen, får vi med differensen R₁ − R₂ de element som finns i relationen mindre än eller lika med men inte i likhetsrelationen. Vi får alltså paren (a, b) för vilka a ≤ b gäller och samtidigt inte a = b. Med andra ord får vi relationen mindre än: <.

Komplement till en relation

Till varje relation kan vi hitta ett komplement. Elementen i komplementet till relationen R är alla element som inte tillhör den ursprungliga relationen R. Till exempel är komplementet till likhetsrelationen (dvs. =) olikhetsrelationen. I den första relationen har vi alla par av element som är lika (t.ex. 5 = 5), i komplementet har vi alla par av tal som inte är lika (t.ex. 5 ≠ 6).

Det enda du måste se upp med när du bestämmer komplementet till en relation är den underliggande mängden — mängden som relationen tillhör. Likhetsrelationen kan vi definiera på de naturliga talen, heltalen, de reella talen, men lika gärna på mängden av alla människor på jorden.

Om vi har en binär relation R mellan mängderna M₁ och M₂: R ⊆ M₁ × M₂, så gäller att komplementet till relationen, som vi kallar S, är lika med S = (M₁ × M₂) ∖ R: det är de element som finns i den kartesiska produkten av de underliggande mängderna men inte i relationen R. På samma sätt för relationer med annan aritet.