Operações com relações

Como as relações são, na verdade, conjuntos, podemos realizar com elas as operações clássicas com conjuntos.

Operações com conjuntos

No artigo anterior, definimos as relações como conjuntos. Com conjuntos podemos realizar operações como a união, a interseção ou a diferença. Vejamos que significado isso tem no caso das relações.

Primeiro precisamos impor uma condição, porque não podemos realizar essas operações entre relações quaisquer. Se temos as relações “menor que” e “ser número par”, essas operações não fariam sentido, porque a primeira relação é binária e a segunda é unária. Para que, depois de aplicar a operação com conjuntos, obtenhamos novamente uma relação, todas as relações envolvidas devem ter a mesma aridade, isto é, todas devem ser n-árias para algum n.

União

Considere as relações “menor que” e “igualdade”. O que acontece se fizermos a união dessas relações? Na relação menor que, temos todos os pares (a, b) para os quais vale a < b. Na relação de igualdade, temos todos os pares (a, b) para os quais vale a = b. Na relação < ∪ = estarão, portanto, todos os pares (a, b) para os quais vale a < b ou a = b. O número a é menor que o número b ou é igual a ele. Conhecemos essa relação e a chamamos de “menor ou igual a”, representada por ≤.

Se temos as relações R₁ e R₂, a união delas dá a relação R = R₁ ∪ R₂, para a qual vale: o elemento r está na relação R se está na relação R₁ ou está na relação R₂. Em outras palavras, ele estará na relação resultante se estava em pelo menos uma das relações unidas.

Interseção

Na união, obtivemos uma nova relação cujos elementos eram elementos de pelo menos uma das relações unidas. Na interseção é parecido, só que os elementos precisam ser membros das duas relações.

Se tomarmos de novo as relações menor que e igualdade (sobre os números reais) e fizermos a interseção delas, o que obtemos? Deveríamos obter os elementos que estão na relação menor que e, ao mesmo tempo, são iguais entre si. Mas esse caso não pode ocorrer, porque, se a < b, nunca vale a = b. Obteríamos a relação vazia.

Considere estas duas relações: “divisibilidade sem resto” e a relação binária que contém os pares (a, b) em que a é um número ímpar e b é um número par. Vamos trabalhar com os números naturais. Na primeira relação haveria pares de números como (5, 15), (6, 30), (3, 123) — o segundo número sempre deve ser divisível pelo primeiro. Na segunda relação estarão os pares de números em que o primeiro é ímpar e o segundo é par: (1, 4), (5, 14), (3, 24) etc. A interseção dessas relações dá uma nova relação R, que conterá os pares (a, b) para os quais vale que b é divisível por a e, ao mesmo tempo, a é ímpar e b é par. Por exemplo: (5, 30) ou (3, 24).

Diferença

Se temos duas relações R₁ e R₂, a diferença R₁ − R₂ dá uma nova relação, à qual pertencem os elementos que estão em R₁, mas não estão em R₂. Podemos voltar às relações menor ou igual e igualdade. Se a relação R₁ for menor ou igual e a relação R₂ for a igualdade, então a diferença R₁ − R₂ nos dá os elementos que estão na relação menor ou igual, mas não estão na relação de igualdade. Obtemos, assim, os pares (a, b) para os quais vale a ≤ b e, ao mesmo tempo, não vale a = b. Em outras palavras, obtemos a relação menor que: <.

Complementar de uma relação

Para cada relação, podemos encontrar o complementar da relação. Os elementos do complementar da relação R são todos os elementos que não pertencem à relação original R. Por exemplo, o complementar da relação de igualdade (ou seja, =) é a relação de desigualdade. Na primeira relação temos todos os pares de elementos que são iguais (por exemplo, 5 = 5); no complementar da relação temos todos os pares de números que não são iguais (por exemplo, 5 ≠ 6).

A única coisa em que você precisa prestar atenção ao determinar o complementar de uma relação é o conjunto base — o conjunto ao qual a relação pertence. A relação de igualdade pode ser definida nos números naturais, nos números inteiros, nos números reais, mas também, sem problema algum, no conjunto de todas as pessoas da Terra.

Se temos uma relação binária R dos conjuntos M₁ e M₂, isto é, R ⊆ M₁ × M₂, então o complementar da relação, que vamos chamar de S, é igual a S = (M₁ × M₂) ∖ R: são os elementos que estão no produto cartesiano dos conjuntos base, mas não estão na relação R. De modo parecido para relações de outras aridades.