Műveletek relációkkal

Mivel a relációk valójában halmazok, elvégezhetjük velük a szokásos halmazműveleteket.

Halmazműveletek

Az előző cikkben a relációkat halmazként definiáltuk. A halmazokkal végezhetünk olyan műveleteket, mint az unió, a metszet vagy a különbség. Nézzük meg, mit jelentenek ezek a relációk esetében.

Először egy feltételt kell bevezetnünk, mert ezeket a műveleteket nem végezhetjük el tetszőleges relációk között. Ha van egy „kisebb, mint” és egy „páros számnak lenni” relációnk, ezek a műveletek nem lesznek értelmesek, mert az első reláció bináris, a második pedig unáris. Hogy a halmazművelet alkalmazása után ismét relációt kapjunk, az összes részt vevő relációnak azonos aritásúnak kell lennie, vagyis valamilyen n-re mind n-árisnak kell lenniük.

Unió

Legyen adott a „kisebb, mint” és az „egyenlőség” reláció. Mi történik, ha ezeket egyesítjük? A „kisebb, mint” relációban benne van minden olyan (a; b) pár, amelyre a < b. Az egyenlőség relációjában benne van minden olyan (a; b) pár, amelyre a = b. A < ∪ = relációban tehát minden olyan (a; b) pár benne lesz, amelyre a < b vagy a = b. Az a szám vagy kisebb, mint a b szám, vagy egyenlő vele. Ezt a relációt ismerjük, „kisebb vagy egyenlő” a neve, a jele pedig ≤.

Ha adottak az R₁ és R₂ relációk, akkor az unióval létrejön az R = R₁ ∪ R₂ reláció, amelyre igaz: az r elem akkor van az R relációban, ha benne van az R₁ relációban, vagy benne van az R₂ relációban. Másképp mondva, akkor lesz benne az eredményrelációban, ha legalább az egyik egyesített relációban benne volt.

Metszet

Az uniónál olyan új relációt kaptunk, amelynek elemei az egyesített relációk legalább egyikének elemei voltak. A metszetnél hasonló a helyzet, csak az elemeknek mindkét relációban benne kell lenniük.

Ha ismét a „kisebb, mint” és az egyenlőség relációját vesszük (a valós számok halmazán), és képezzük a metszetüket, mit kapunk? Azokat az elemeket kellene kapnunk, amelyek benne vannak a „kisebb, mint” relációban, és egyúttal egyenlők is. Ilyen eset azonban nem fordulhat elő, mert ha a < b, akkor soha nem teljesül, hogy a = b. Az üres relációt kapnánk.

Legyen két relációnk: az „osztható maradék nélkül” és az a bináris reláció, amely az (a; b) elempárokat tartalmazza, ahol a páratlan szám, b pedig páros szám. Dolgozzunk a természetes számok halmazán. Az első relációban olyan számpárok lennének, mint (5; 15), (6; 30), (3; 123) – a második számnak mindig oszthatónak kell lennie az elsővel. A második relációban olyan számpárok lesznek, amelyekben az első szám páratlan, a második páros: (1; 4), (5; 14), (3; 24) és így tovább. E relációk metszetével létrejön az új R reláció, amely azokat az (a; b) párokat tartalmazza, amelyekre igaz, hogy b osztható a-val, és egyúttal a páratlan, b pedig páros szám. Például: (5; 30) vagy (3; 24).

Különbség

Ha adott két reláció, R₁ és R₂, akkor az R₁ − R₂ különbséggel új reláció jön létre, amelybe azok az elemek tartoznak, amelyek benne vannak az R₁-ben, de nincsenek benne az R₂-ben. Térjünk vissza ismét a „kisebb vagy egyenlő” és az egyenlőség relációjához. Ha az R₁ reláció a „kisebb vagy egyenlő”, az R₂ reláció pedig az egyenlőség, akkor az R₁ − R₂ különbséggel azokat az elemeket kapjuk, amelyek benne vannak a „kisebb vagy egyenlő” relációban, de nincsenek benne az egyenlőség relációjában. Tehát azokat az (a; b) párokat kapjuk, amelyekre a ≤ b, és egyúttal nem teljesül, hogy a = b. Másképp mondva a „kisebb, mint” relációt kapjuk: <.

A reláció komplementere

Minden relációhoz megkereshetjük a komplementerét. Az R reláció komplementerének elemei mindazok az elemek, amelyek nem tartoznak az eredeti R relációhoz. Például az egyenlőség relációjának (azaz az = relációnak) a komplementere az egyenlőtlenség relációja. Az első relációban az összes egymással egyenlő elempár szerepel (pl. 5 = 5), a reláció komplementerében pedig az összes olyan számpár, amely nem egyenlő (pl. 5 ≠ 6).

Az egyetlen dolog, amire a komplementer meghatározásánál figyelned kell, az alaphalmaz – az a halmaz, amelyhez a reláció tartozik. Az egyenlőség relációját definiálhatjuk a természetes számokon, az egész számokon, a valós számokon, de akár a Föld összes emberének halmazán is.

Ha van egy olyan R bináris relációnk, amely az M₁ és M₂ halmazokból való: R ⊆ M₁ × M₂, akkor igaz, hogy a reláció komplementere, jelöljük S-sel, egyenlő S = (M₁ × M₂) ∖ R: ezek azok az elemek, amelyek benne vannak az alaphalmazok Descartes-szorzatában, de nincsenek benne az R relációban. Hasonlóan a más aritású relációknál.